Distanza punto-retta

La distanza di un punto $(x',y')$ da una retta retta (line-point distance), intesa come distanza ortogonale, ovvero distanza tra il punto dato e il punto più vicino sulla retta, vale:

$$d = \frac{\vert a x' + b y' + c \vert}{ \sqrt{a^2 + b^2} }$$ (1.31)

Nel caso n-dimensionale il punto $\mathbf {x}$ appartenente alla retta di equazione (1.22) più vicino a un punto $\mathbf{m}$ è quel punto per il quale lo scalare $t$ assume il valore

$$t = (\mathbf{m} - \mathbf{p}) \cdot \mathbf{v}$$ (1.32)

proiezione scalare sulla direttrice $\mathbf{v}$ del segmento $\mathbf{m}-\mathbf{p}$.

Questa versione risulta molto interessante nel caso si voglia misurare la distanza tra un punto $\mathbf{m}$ e un segmento $(\mathbf{p},\mathbf{q})$ sfruttando la retta generata come in equazione (1.29). In questo caso un valore di $t$ compreso tra $[0,1]$ sta ad indicare che il punto più vicino a $\mathbf{m}$ cade all'interno del segmento, in quanto proiezione scalare del segmento $(\mathbf{p},\mathbf{m})$ sul segmento $(\mathbf{p},\mathbf{q})$.

Infine nella sezione 1.5.10, in equazione (1.54), verrà mostrato come trovare il punto su un iperpiano più vicino a un generico punto. Tale formulazione si può applicare anche alle rette scritte in forma di iperpiano e di conseguenza il punto $(x,y)$ appartenente alla retta $(a,b,c)$ più vicino al punto $(x',y')$ è

$$(x,y) = \left( x' - a \frac{a x' + b y' + c}{a^2+b^2}, y' - b \frac{a x' + b y' + c}{a^2+b^2} \right)$$ (1.33)