Stima dei Parametri

Kalman, in tutte le sue varianti, è classicamente visto come filtro o stimatore di uno stato. Tuttavia è largamente diffuso, principalmente in machine learning, l'utilizzo di queste tecniche per stimare i parametri di un modello (il meta-modello):

$$\mathbf{y}_k = f(\mathbf{x_k}, \boldsymbol\beta)$$ (3.50)

dove $\mathbf{y}_k$ sono le uscite del sistema, $\mathbf{x_k}$ gli ingressi e $f$ una funzione basata sui parametri $\boldsymbol\beta$ da stimare. Il concetto di addestramento, o fitting, del modello consiste nel determinare i parametri $\boldsymbol\beta$.

Kalman permette di determinare i parametri, eventualmente variabili, del modello usando come stato da determinare proprio $\boldsymbol\beta$ in modo da ottenere un sistema iterativo del tipo

$$\left\{ \begin{array}{l} \boldsymbol\beta_{k+1} = \boldsymbo... ...{y}_k = f(\mathbf{x}_k, \boldsymbol\beta_k) \end{array}\right.$$ (3.51)

dove il rumore opzionale $\mathbf{w}_k$ viene usato per modellare eventuali variazioni del modello nel tempo: la scelta della varianza di $\mathbf{w}$ determina la reattività alle variazioni dei parametri del modello.