Chiralità e ricostruzione con pose relative

La fattorizzazione della matrice Essenziale produce quattro possibili coppie $(\mathbf{R}, \mathbf{t})$, tutte compatibili con la medesima geometria epipolare. Le corrispondenti matrici Essenziali differiscono al più per un fattore di scala e rappresentano quindi la stessa relazione epipolare tra le immagini. Non tutte queste soluzioni sono però fisicamente plausibili. Un punto tridimensionale osservato da una camera deve infatti trovarsi frontalmente rispetto al piano immagine, ovvero deve possedere profondità positiva.

La soluzione corretta è quindi quella che, ricostruendo i punti tridimensionali osservati, porta la maggioranza di essi ad avere profondità positiva rispetto ad entrambe le camere. Tale criterio prende il nome di vincolo di chiralità (chirality constraint).

Sia pertanto $(\mathbf{R}, \mathbf{t})$ una delle quattro possibili decomposizioni della matrice Essenziale e siano

$$\tilde{\mathbf{m}}_1 = (\tilde{u}_1,\tilde{v}_1,1)^{\top} \qquad \tilde{\mathbf{m}}_2 = (\tilde{u}_2,\tilde{v}_2,1)^{\top}$$ (10.86)

le coordinate camera normalizzate di una coppia di punti omologhi.

Indicando con $z_1$ e $z_2$ le rispettive profondità, le coordinate tridimensionali dei due raggi ottici possono essere espresse come

$$\mathbf{m}_1 = z_1 \tilde{\mathbf{m}}_1 \qquad \mathbf{m}_2 = z_2 \tilde{\mathbf{m}}_2.$$ (10.87)

La relazione tra le due osservazioni diventa quindi

$$z_2 \tilde{\mathbf{m}}_2 = z_1 \mathbf{R} \tilde{\mathbf{m}}_1 + \mathbf{t}.$$ (10.88)

Tale equazione coincide con il problema della triangolazione di un punto osservato da due viste differenti. Una volta scelta una delle quattro possibili fattorizzazioni della matrice Essenziale, è possibile stimare le profondità $z_1$ e $z_2$ attraverso una qualsiasi tecnica di triangolazione come quelle discusse in sezione 10.3.1.

La verifica della chiralità consiste semplicemente nel controllare che entrambe le profondità risultino positive:

$$z_1 > 0 \qquad \wedge \qquad z_2 > 0.$$ (10.89)

In pratica il procedimento adottato è il seguente:

1. si generano le quattro possibili decomposizioni della matrice Essenziale;
2. per ciascuna decomposizione si triangola un insieme di punti omologhi;
3. si conta il numero di punti che possiedono profondità positiva rispetto ad entrambe le camere;
4. si seleziona la decomposizione che massimizza tale numero.

Poiché il vettore traslazione estratto dalla matrice Essenziale è noto solamente a meno di un fattore moltiplicativo, anche i punti tridimensionali così ricostruiti risultano determinati a meno della medesima scala.

È importante osservare che il vincolo di chiralità non dipende dalla particolare procedura utilizzata per stimare la matrice Essenziale ma costituisce una proprietà geometrica generale della ricostruzione tridimensionale da pose relative. Lo stesso principio può pertanto essere applicato ogni volta che siano note la rotazione e la traslazione relativa tra due sensori.