Aggiornamenti incrementali

Negli algoritmi iterativi non è conveniente aggiornare direttamente una matrice di rotazione mediante

$$\mathbf{R}_{k+1} = \mathbf{R}_k + \Delta\mathbf{R},$$ (A.38)

poiché il risultato potrebbe non appartenere più a $SO(3)$.

Si utilizza invece una perturbazione infinitesimale

$$\delta\boldsymbol{\omega} \in \mathfrak{so}(3)$$ (A.39)

e si aggiorna la soluzione secondo

$$\mathbf{R}_{k+1} = \exp\!\left( [\delta\boldsymbol{\omega}]_\times \right) \mathbf{R}_k.$$ (A.40)

Questo approccio preserva automaticamente l'ortonormalità della matrice.

Tale formulazione viene ampiamente utilizzata nei filtri di Kalman estesi, nella stima della posa, nell'odometria visuale e nel bundle adjustment.