Algebra di Lie

Lo spazio tangente di $SO(3)$ nell'identità viene indicato con

$$\mathfrak{so}(3).$$ (A.30)

Gli elementi di $\mathfrak{so}(3)$ sono matrici antisimmetriche della forma

$$\boldsymbol{\Omega} = \begin{bmatrix} 0 & -\omega_z & \o... ... & 0 & -\omega_x\\ -\omega_y & \omega_x & 0 \end{bmatrix}.$$ (A.31)

Introducendo il vettore

$$\boldsymbol{\omega} = \begin{bmatrix} \omega_x\\ \omega_y\\ \omega_z \end{bmatrix},$$ (A.32)

è possibile scrivere in forma compatta

$$\boldsymbol{\Omega} = [\boldsymbol{\omega}]_\times ,$$ (A.33)

dove $[\cdot]_\times$ rappresenta la matrice associata al prodotto vettoriale.

Si osservi che la parametrizzazione mediante rotazioni infinitesimali introdotta nelle sezioni precedenti coincide esattamente con un elemento dell'algebra di Lie $\mathfrak{so}(3)$.