Il gruppo delle rotazioni

L'insieme delle matrici di rotazione tridimensionali viene indicato con

$$SO(3) = \left\{ \mathbf{R}\in\mathbb{R}^{3\times3} \;\mi... ...}\mathbf{R}=\mathbf{I}, \quad \det(\mathbf{R})=1 \right\}.$$ (A.29)

L'operazione di composizione è il prodotto tra matrici.

Il simbolo $SO(3)$ deriva da Special Orthogonal Group:

• “Orthogonal” perché $\mathbf{R}^{T}\mathbf{R}=\mathbf{I}$;
• “Special” perché $\det(\mathbf{R})=1$;
• “3” perché agisce nello spazio tridimensionale.

L'insieme $SO(3)$ non costituisce uno spazio vettoriale. Infatti la somma di due matrici di rotazione non è in generale una rotazione.

Le rotazioni appartengono invece a una varietà differenziabile e possono essere studiate localmente mediante il loro spazio tangente.