Ottimizzazione su una Varietà

Tutti i metodi di ottimizzazione visti finora sono stati progettati per lavorare su uno spazio Euclideo “piatto”. Quando si vuole ottimizzare un vettore di stato che contiene una o più variabili dove lo spazio euclideo perde significato (esempio rotazioni o matrici) ogni parametrizzazione risulta in soluzioni sub-ottime ed affette da singolarità. Negli ultimi anni hanno preso molto piede tecniche che usano la versione overparametrizzata per il vettore di stato (Her08) per poi ottimizzare il problema direttamente sulla varietà (manifold), varietà che localmente è omeomorfica rispetto a uno spazio lineare.

L'idea è trasformare la classica minimizzazione di $S \in \mathcal{M}$, con $\mathcal{M}$ una varietà n-dimensionale,

$$\boldsymbol\delta \Leftarrow \left. \dfrac{\partial S(\math... ... 0 \qquad \mathbf{x} \Leftarrow \mathbf{x} + \boldsymbol\delta$$ (3.62)

in

$$\boldsymbol\epsilon \Leftarrow \left. \dfrac{\partial S(\ma... ... \mathbf{x} \Leftarrow \mathbf{x} \boxplus \boldsymbol\epsilon$$ (3.63)

con $\boldsymbol\epsilon \in \mathbb{R}^{n}$, supponendo che nell'intorno $\boldsymbol\epsilon = 0$ la funzione lavori in uno spazio euclideo. L'operatore $\boxplus$ permette l'addizione tra elementi dello spazio della varietà con elementi dello spazio euclideo $\mathbb{R}^{n}$.

Un esempio molto classico è considerare l'ottimizzazione di una orientazione espressa in 3 dimensioni attraverso l'uso di un quaternione in 4 dimensioni.