ZCA

PCA è una tecnica che permette di decorrelare le componenti ma questo non impedisce alle loro varianze di essere differenti. Se si riscalano le componenti principali in modo che abbiano tutte varianza unitaria (si veda anche 2.4.1), la distribuzione viene detta sferizzata e il procedimento prende il nome di whitening (sbiancamento).

La matrice di whitening $\mathbf W$ è una trasformazione lineare tale che

$$\cov (\mathbf{Y})=\mathbf{I}.$$ (2.76)

Dopo la trasformazione di whitening i dati hanno media nulla, componenti scorrelate e matrice di covarianza identità.

Partendo dalla decomposizione agli autovalori

$$\boldsymbol\Sigma = \mathbf V \boldsymbol\Delta \mathbf V^\top$$ (2.77)

si ottiene il whitening nello spazio PCA come

$$\mathbf X_{PCA} = \mathbf V^\top \mathbf X^\top$$ (2.78)

e successivamente

$$\mathbf X_{white} = \boldsymbol\Delta^{-1/2} \mathbf X_{PCA}.$$ (2.79)

Poiché

$$\boldsymbol\Delta = \frac1n\mathbf S^2,$$ (2.80)

la trasformazione può essere scritta, a meno di un fattore di scala costante, anche tramite i valori singolari.

La trasformazione ZCA (Zero-Phase Component Analysis) riporta infine i dati whitened nel sistema di coordinate originale:

$$\mathbf X_{ZCA} = \mathbf V \boldsymbol\Delta^{-1/2} \mathbf V^\top \mathbf X^\top.$$ (2.81)

A differenza della rappresentazione PCA-whitened, la trasformazione ZCA preserva il più possibile l'orientamento originale dei dati e mantiene la stessa dimensionalità dello spazio iniziale.