Modellazione 3D implicita: RBF e Signed Distance Fields (SDF)

Le rappresentazioni implicite non sono tuttavia limitate ai campi di radianza. Lo stesso principio di rappresentare la geometria attraverso un campo continuo può essere utilizzato direttamente per descrivere una superficie, indipendentemente dal problema del rendering. Un esempio classico è rappresentato dalle Signed Distance Fields, che possono essere costruite anche mediante funzioni di base radiale.

Mentre le nuvole di punti e le mesh poligonali offrono una rappresentazione esplicita ma spesso frammentata o rigida, la modellazione geometrica avanzata fa spesso ricorso a rappresentazioni implicite e continue. Un approccio consiste nel modellare la superficie $\mathcal{S}$ come l'insieme di livello zero di un campo implicito:

$$\mathcal{S} = \left\{ \mathbf{x}\in\mathbb{R}^3 \mid f(\mathbf{x})=0 \right\}.$$ (10.125)

Quando il campo $f(\mathbf{x})$ rappresenta anche la distanza con segno dalla superficie, esso costituisce una Signed Distance Function (SDF), e nelle regioni regolari soddisfa idealmente $\Vert\nabla f(\mathbf{x})\Vert=1$. Una possibile parametrizzazione del campo implicito è ottenuta mediante una combinazione lineare di Radial Basis Functions (RBF) centrate nei nodi $\mathbf{c}_i$:

$$f(\mathbf{x}) = \sum_{i=1}^{N} w_i \, \phi\left( \Vert\mathbf{x} - \mathbf{c}_i\Vert, R_i \right) + P(\mathbf{x})$$ (10.126)

Nello specifico:

• $\mathbf{c}_i = [c_{ix}, c_{iy}, c_{iz}]^T$ rappresenta la posizione del centro dell'$i$-esima funzione RBF.
• $w_i$ è il peso associato al centro.
• $R_i$ è il raggio o fattore di supporto del kernel (ad esempio un kernel cubico $r^3$ o funzioni a supporto compatto come quelle di Wendland).
• $P(\mathbf{x})$ è un polinomio di basso grado per garantire la stabilità globale del campo.

Questo approccio può essere utilizzato per la ricostruzione di forme tridimensionali a partire da nuvole di punti rumorose, ad esempio acquisite mediante LiDAR. Dato un punto misurato $\mathbf{y}_k$, il residuo rispetto alla superficie implicita può essere espresso direttamente come

$$r_k = f(\mathbf{y}_k).$$ (10.127)

I parametri del campo possono quindi essere determinati mediante interpolazione o ottimizzazione, a seconda della formulazione adottata, eventualmente utilizzando funzioni di costo robuste per ridurre l'influenza degli outlier.

Esempi di Kernel RBF.

A seconda delle proprietà geometriche che si desidera ottenere (lisciare lo spazio globalmente o mantenere un supporto locale efficiente), si utilizzano differenti formulazioni del kernel radiale $\phi(r, R_i)$ (con $r = \Vert\mathbf {x} - \mathbf {c}_i\Vert$):

• Kernel Cubico Globale:
  

  $$\phi(r) = r^3 \quad (\text{oppure } r^5)$$ (10.128)

  
  
  È uno dei kernel classici per la ricostruzione di superfici. Essendo globale, ogni centro influenza l'intero spazio, garantendo una grandissima regolarità ($C^2$ o superiore) ma generando matrici dense che possono risultare pesanti da risolvere computazionalmente all'aumentare dei centri.

• Kernel Gaussiano:
  

  $$\phi(r, R_i) = \exp\left( -\frac{r^2}{2 R_i^2} \right)$$ (10.129)

  
  
  Molto diffuso in machine learning e approssimazione di funzioni. Il parametro $R_i$ agisce direttamente come la deviazione standard (ampiezza) della campana gaussiana, determinando quanto rapidamente decade l'influenza del centro allontanandosi da esso.

• Kernel a Supporto Compatto di Wendland:
  

  $$\phi(r, R_i) = \begin{cases} \left(1 - \frac{r}{R_i}\right)^... ...) & \text{se } r \le R_i \\ 0 & \text{se } r > R_i \end{cases}$$ (10.130)

  
  
  Annullandosi rigorosamente oltre la soglia $R_i$, fa sì che ciascun punto dello spazio risenta solo dei centri vicini; ciò rende la matrice Jacobiana altamente sparsa e può migliorare l'efficienza computazionale anche con un numero elevato di centri.

• Kernel Multiquadratico:
  

  $$\phi(r, R_i) = \sqrt{r^2 + R_i^2}$$ (10.131)

  
  
  Caratterizzato da una crescita lineare all'infinito (controllata dal parametro di scala $R_i$), viene spesso impiegato per interpolare dati sparsi in cui si vuole evitare il decadimento a zero tipico delle gaussiane.

Figura 10.4: Andamento dei diversi kernel radiali (RBF) in funzione della distanza $r = \Vert\mathbf {x} - \mathbf {c}_i\Vert$.