Splattering 2D di Gaussiane

Invece di rappresentare la scena mediante gaussiane volumetriche tridimensionali, è possibile utilizzare primitive gaussiane definite su elementi bidimensionali locali. Questa formulazione, nota come Splattering di Gaussiane 2D, precede storicamente le moderne tecniche basate su Gaussiane tridimensionali e rappresenta un diverso compromesso tra modellazione geometrica e costo computazionale.

Le gaussiane 2D sono rappresentate da un punto centrale $\mathbf{p}_k$, da due vettori unitari tangenti ($\mathbf{t}_u$, $\mathbf{t}_v$) e un fattore di scala $\mathbf{S}=(s_u,s_v)$ che controlla la varianza in 2 dimensioni della gaussiana.

Si può organizzare l'orientazione della gaussiana 2D in una matrice $3 \times 3$ di rotazione $\mathbf{R} = [t_u, t_v, t_w]$ (parametrizzabile come classica rotazione in 3D) avendo definito $t_w = t_u \times t_v$ e i fattori di scala in una matrice diagonale $\mathbf{S}=\diag (s_u, s_v, 0)$.

La parametrizzazione del piano può essere scritta come una trasformazione affine delle coordinate locali $(u,v)$:

$$P(u,v) = \mathbf{p}_k + s_u\mathbf{t}_u u + s_v\mathbf{t}_v v = \mathbf{H} \begin{bmatrix} u\\ v\\ 1 \end{bmatrix},$$ (10.123)

e

$$\mathbf{H} = \begin{bmatrix} s_u\mathbf{t}_u & s_v\mathbf{t}_v & \mathbf{p}_k \end{bmatrix}.$$ (10.124)

dove $\mathbf{H}$ è la matrice dell'embedding affine.

Ad ogni punto $(u,v)$ in coordinate del piano è chiaramente associata una gaussiana di equazione $e^{-\frac{u^2 + v^2}{2}}$.