Armoniche Sferiche

Un punto nodale della rappresentazione del colore viene dall'uso delle Armoniche Sferiche (Spherical Harmonics, SH). Le armoniche sferiche sono soluzioni dell'equazione di Laplace in coordinate sferiche e formano una base ortogonale completa per le funzioni definite sulla superficie di una sfera. Una funzione $L(\theta,\phi)$ può quindi essere rappresentata come

$$L(\mathbf{d}) \simeq L(\theta,\phi) = \sum_{l=0}^{L} \sum_{m=-l}^{l} k_l^m Y_l^m(\theta,\phi),$$ (10.108)

dove $\mathbf{d}$ rappresenta la direzione, $l$ è il grado dell'armonica, $m$ il suo ordine e $k_l^m$ il corrispondente coefficiente. In un'approssimazione numerica si considera generalmente un grado massimo finito $L$.

Per le armoniche sferiche reali, utilizzate comunemente anche nella rappresentazione del colore nelle tecniche di Gaussian Splatting, si può adottare la seguente definizione. Per $l \geq 0$ e $-l \leq m \leq l$:

$$Y_l^m(\theta,\phi) = \begin{cases} \sqrt{2}\,K_l^m P_l^m(\co... ...m\vert}(\cos\theta)\sin(\vert m\vert\phi), & m < 0, \end{cases}$$ (10.109)

dove

$$K_l^m = \sqrt{ \frac{2l+1}{4\pi} \frac{(l-m)!}{(l+m)!} }, \qquad m \geq 0,$$ (10.110)

e $P_l^m$ sono i polinomi di Legendre associati, definiti secondo la convenzione che include il fattore di fase di Condon–Shortley ^10.6

Nel caso di $l=0$ esiste una sola armonica, costante sulla sfera:

$$Y_0^0 = \frac{1}{\sqrt{4\pi}} = \frac{1}{2}\sqrt{\frac{1}{\pi}} \approx 0.2821.$$ (10.111)

Per un grado massimo $L$, il numero complessivo di armoniche è

$$N_{\mathrm{SH}} = \sum_{l=0}^{L}(2l+1) = (L+1)^2.$$ (10.112)

Di conseguenza, ciascuna componente del colore può essere rappresentata mediante $(L+1)^2$ coefficienti. Per esempio, con $L=0$ si utilizza un solo coefficiente, con $L=1$ quattro coefficienti e con $L=2$ nove coefficienti.

In grafica computazionale le armoniche sferiche sono utilizzate per rappresentare in modo compatto funzioni dipendenti dalla direzione. Nel rendering neurale possono quindi essere utilizzate per descrivere la dipendenza del colore dalla direzione di osservazione. I coefficienti della rappresentazione determinano progressivamente le variazioni della funzione al variare della direzione.

L'idea è quella di selezionare un grado massimo $L$ e rappresentare ciascuna componente del colore, rossa, verde e blu, come combinazione lineare delle armoniche sferiche, utilizzando come variabile la direzione di osservazione $(\theta,\phi)$, ovvero la direzione del raggio ottico che collega il punto all'osservatore.

Per ciascuna componente cromatica si ottiene quindi, ad esempio per il canale rosso:

$$C_R(\mathbf{d}) = \sum_{l=0}^{L} \sum_{m=-l}^{l} k_{l,m}^{R} Y_l^m(\mathbf{d}),$$ (10.113)

In modo analogo si calcolano $C_G(\mathbf{d})$ e $C_B(\mathbf{d})$, ottenendo il colore RGB $\mathbf{c}(\mathbf{d}) = [C_R(\mathbf{d}),C_G(\mathbf{d}),C_B(\mathbf{d})]^\top$.

Footnotes

... Condon–Shortley^10.6

Si noti che in letteratura sono utilizzate diverse convenzioni per l'ordinamento e il segno delle armoniche sferiche reali; è quindi necessario mantenere la stessa convenzione nella generazione delle funzioni e nell'interpretazione dei coefficienti.