Fattorizzazione della Matrice Essenziale

Nelle sezioni precedenti si è visto come, sfruttando almeno cinque corrispondenze tra punti omologhi, sia possibile stimare la matrice Essenziale $\mathbf{E}$ che codifica la posa relativa tra due camere calibrate.

L'obiettivo è ora invertire tale relazione ed estrarre dalla matrice Essenziale i parametri geometrici che l'hanno generata, ovvero la rotazione relativa $\mathbf{R}$ e la direzione della traslazione $\mathbf{t}$.

Dalla definizione

$$\mathbf{E} = [\mathbf{t}]_{\times}\mathbf{R}$$ (10.76)

si osserva immediatamente che

$$\mathbf{E}\mathbf{E}^{\top} = [\mathbf{t}]_{\times} [\mathbf{t}]_{\times}^{\top}$$ (10.77)

e pertanto la matrice simmetrica $\mathbf{E}\mathbf{E}^{\top}$ dipende unicamente dal vettore traslazione e non dalla rotazione relativa tra le due camere. Ne consegue che la matrice Essenziale contiene, in forma accoppiata, sia l'informazione di rotazione sia quella di traslazione.

Nella pratica la fattorizzazione viene eseguita direttamente attraverso la Decomposizione ai Valori Singolari (SVD). Sia

$$\mathbf{E} = \mathbf{U} \mathbf{D} \mathbf{V}^{\top}$$ (10.78)

con

$$\mathbf{D} = \diag (1,1,0)$$ (10.79)

nel caso di matrice Essenziale idealmente normalizzata. Se la matrice stimata non soddisfa esattamente tale vincolo, è possibile proiettarla nello spazio delle matrici Essenziali come discusso in sezione 10.4.1.

Si definisca inoltre la matrice

$$\mathbf{W} = \begin{bmatrix} 0 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}.$$ (10.80)

Dalla SVD è possibile ottenere due possibili matrici di rotazione^10.5:

$$\mathbf{R}_1 = \mathbf{U} \mathbf{W} \mathbf{V}^{\top}$$ (10.81)

$$\mathbf{R}_2 = \mathbf{U} \mathbf{W}^{\top} \mathbf{V}^{\top}.$$ (10.82)

La direzione della traslazione è invece data dalla terza colonna della matrice $\mathbf{U}$:

$$\mathbf{t} = \pm \mathbf{u}_3$$ (10.83)

dove $\mathbf{u}_3$ indica l'ultima colonna di $\mathbf{U}$.

L'ambiguità di segno deriva dal fatto che la matrice Essenziale determina la traslazione solamente a meno di un fattore moltiplicativo. In particolare, sia $\mathbf{t}$ che $-\mathbf{t}$ generano la stessa geometria epipolare.

Si ottengono pertanto quattro possibili fattorizzazioni della matrice Essenziale:

$$(\mathbf{R}_1,+\mathbf{t}) \qquad (\mathbf{R}_1,-\mathbf{t})$$ (10.84)

$$(\mathbf{R}_2,+\mathbf{t}) \qquad (\mathbf{R}_2,-\mathbf{t}).$$ (10.85)

Tutte queste soluzioni risultano compatibili con la medesima geometria epipolare. Le corrispondenti matrici Essenziali differiscono al più per un fattore di scala e risultano quindi indistinguibili utilizzando solamente il vincolo epipolare. Per individuare la configurazione fisicamente corretta è necessario introdurre un vincolo addizionale, noto come vincolo di chiralità.

Footnotes

... rotazione^10.5

Per ottenere matrici di rotazione proprie è necessario verificare che $\det(\mathbf{U}\mathbf{V}^{\top}) = 1$. Qualora il determinante risultasse negativo, si può cambiare il segno dell'ultima colonna di $\mathbf{U}$ (o equivalentemente di $\mathbf{V}$) prima di ricostruire la matrice Essenziale.