Stima alla Massima Verosimiglianza

Quando si usa la decomposizione SVD per irrobustirne i vincoli, la matrice Fondamentale (o Essenziale) che si ottiene soddisfa pienamente i requisiti per essere Fondamentale (o Essenziale), ma è soltanto la matrice più vicina, secondo una particolare norma (in questo caso la norma di Frobenius), a quella ottenuta dal sistema lineare. Neanche questa soluzione è ottima perché non tiene conto della propagazione dell'errore delle osservazioni attraverso il modello. Si tratta infatti ancora di una soluzione algebrica e non di una soluzione geometrica.

Una prima tecnica, che minimizza l'errore geometrico, consiste nel sfruttare la distanza tra i punti e le rette epipolari generate attraverso la matrice Fondamentale (epipolar distance).

Anche solo intuitivamente, la distanza tra un punto $\mathbf {p}_2$ e la retta epipolare $\mathbf{F}\mathbf{p}_1$ può essere usata come metrica per stimare l'errore geometrico:

$$d \left( \mathbf{p}_{2}, \mathbf{F} \mathbf{p}_{1} \right) ... ...right)_1^{2} + \left( \mathbf{F}\mathbf{p}_1 \right)_2^{2} } }$$ (10.68)

dove con $(.)_i$ è indicata la componente i-esima del vettore (si veda la sezione 1.6.3 per l'equazione della distanza punto-retta). Più la distanza è bassa, meglio la matrice $\mathbf{F}$ soddisfa il vincolo epipolare per le corrispondenze osservate.

Siccome è possibile calcolare sia per la prima immagine che per la seconda questo errore, è corretto minimizzare entrambi i contributi insieme. Attraverso questa metrica è possibile definire una funzione costo che minimizzi l'errore in maniera simmetrica (symmetric transfer error) tra le due immagini:

$$\min_\mathbf{F} \sum_i \left( d\!\left( \mathbf{p}_{1,i}, \... ...\mathbf{p}_{2,i}, \mathbf{F}\mathbf{p}_{1,i} \right)^2 \right)$$ (10.69)

Anche in questo caso si può cercare una soluzione a 8 incognite ma, per cercare una soluzione robusta, risulta necessario vincolare $\mathbf{F}$ ad essere di rango 2.

Alternativamente al Symmetric Transfer Error in letteratura viene spesso usata l'approssimazione al primo ordine della distanza tra i punti e la funzione (Sampson-error, sezione 4.3.8). È possibile definire così una distanza approssimata tra i punti immagine omologhi $\left( \mathbf{p}_{1}, \mathbf{p}_{2} \right)$ e la varietà $\hat{\mathbf{p}_{2}}^{\top}\mathbf{F} \hat{\mathbf{p}_{1} }=0$ attraverso la metrica

$$r\left( \mathbf{p}_{1}, \mathbf{p}_{2}, \mathbf{F} \right) ... ... \mathbf{p}_2)_1^2 + (\mathbf{F}^{\top} \mathbf{p}_2)_2^2 } }$$ (10.70)

dove con $(.)_i$ è indicata nuovamente la componente i-esima del vettore. Attraverso questa metrica approssimata, mantenendo sempre il vincolo aggiuntivo $\det \mathbf{F} = 0$, è possibile minimizzare

$$\min_{\mathbf{F}} \sum_{i=1}^{n} r\left( \mathbf{p}_{1,i}, \mathbf{p}_{2,i}, \mathbf{F} \right)^{2}$$ (10.71)

Sia il Symmetric Transfer Error che la distanza di Sampson, pur rappresentando approssimazioni geometricamente più significative dell'errore algebrico, non conducono in generale allo stimatore ottimo in termini di massima verosimiglianza. La stima di massima verosimiglianza Maximum Likelihood Estimation per la matrice Fondamentale si otterrebbe infatti usando una funzione costo del tipo

$$\min_{\mathbf{F}, \hat{\mathbf{p}}_{1,i}, \hat{\mathbf{p}}_... ...rt^2 + \Vert \mathbf{p}_{2,i} - \hat{\mathbf{p}}_{2,i} \Vert^2$$ (10.72)

avendo indicato con $\hat{\mathbf{p}}_{1,i}$ e $\hat{\mathbf{p}}_{2,i}$ i punti esatti e con $\mathbf{p}_{1,i}$, $\mathbf{p}_{2,i}$ i corrispondenti punti misurati affetti da rumore gaussiano bianco, indipendente, a media nulla. La funzione costo (10.72) va minimizzata sotto il vincolo

$$\hat{\mathbf{p}}^{\top}_{2,i} \mathbf{ F } \hat{\mathbf{p}}_{1,i} = 0$$ (10.73)

e con i vincoli aggiuntivi dovuti alla natura di $\mathbf{F}$. In questo caso i punti esatti $\hat{\mathbf{p}}_{1,i}$ e $\hat{\mathbf{p}}_{2,i}$ diventano parte del problema (variabili ausiliarie, subsidiary variables). Tuttavia, introdurre i punti $\hat{\mathbf{p}}_{1,i}$ e $\hat{\mathbf{p}}_{2,i}$ come incognite trasforma il problema in un'ottimizzazione vincolata non lineare che, pur essendo formalmente risolvibile, risulta poco conveniente da affrontare direttamente.

Per risolvere questo problema bisogna unire il problema del calcolo della matrice Essenziale o Fondamentale con quello della ricostruzione tridimensionale e porre come variabile ausiliaria direttamente la coordinata tridimensionale del punto osservato $\hat{\mathbf{x}}_{i}$.

La matrice Essenziale può essere ottenuta data la conoscenza dei parametri intrinseci dei due sensori. In questo caso infatti è possibile sfruttare il sistema non lineare che proietta la variabile ausiliaria $\hat{\mathbf{x}}_{i}$ sulle rispettive due osservazioni sui due rispettivi sensori:

$$\begin{array}{l} \hat{\mathbf{p}}_{1,i} \equiv \mathbf{K}_... ...f{R} \hat{\mathbf{x}}_{i} + \mathbf{t} \right) \\ \end{array}$$ (10.74)

dove la matrice $\mathbf{R}$ può essere espressa tramite una parametrizzazione a 3 variabili (si veda la sezione A) mentre il vettore $\mathbf{t}$ deve venire rappresentato tramite una parametrizzazione a 2 (la scala rimane infatti sempre un fattore sconosciuto). Inserendo i vincoli (10.74) nell'equazione (10.72), l'obiettivo di ricavare la matrice Essenziale viene trasformato in quello di ricavare direttamente i parametri relativi tra i due sensori. Una volta ottenuta la posa relativa tra i due sensori, è possibile ricavare direttamente la matrice Essenziale applicando la definizione di equazione (10.43).

Quando i parametri intrinseci non sono disponibili, nel caso della stima della matrice Fondamentale, non è possibile effettuare una vera ricostruzione tridimensionale della scena proprio per la mancanza di questi parametri. È possibile sfruttare tuttavia delle proiezioni prospettiche fittizie ponendo $\mathbf{K}_1=\mathbf{I}$ e ottenendo dei vincoli del tipo:

$$\begin{array}{l} \hat{\mathbf{p}}_{1,i} \equiv \hat{\mathb... ...}_{2,i} \equiv \mathbf{P} \hat{\mathbf{x}}_{i} \\ \end{array}$$ (10.75)

usando direttamente la variabile ausiliaria $\hat{\mathbf{x}}_{i}$, coordinata che verrà pertanto conosciuta a meno di una trasformazione affine $\mathbf{K}_1^{-1}$ ovvero i parametri intrinseci della camera 1.

Inserendo i vincoli (10.75) nell'equazione (10.72) anche questa volta l'obiettivo di ricavare la matrice Fondamentale viene trasformato in quello di ricavare i parametri della matrice proiettiva $\mathbf{P}$. Attraverso la matrice camera $\mathbf{P}=\left[ \mathbf{R}' \vert \mathbf{t}' \right]$, matrice camera fittizia, è infine possibile ricavare $\mathbf{F}$ applicando direttamente la definizione (10.43) dove tuttavia la matrice $\mathbf{R}'$ non è una matrice di rotazione.

La stima a massima Verosimiglianza della matrice Fondamentale, corretta dal punto di vista probabilistico, richiede comunque una gran quantità di risorse: oltre alle 11 incognite globali necessarie per stimare $\mathbf{P}$^10.4 (rispetto alle 5 della matrice Essenziale) per ogni coppia di punti da minimizzare vengono inserite nel problema 3 ulteriori incognite.

Infine, come avvertenza finale, per la stima ottima delle matrici in presenza di eventuali outlier nella scena sono ampiamente sfruttate tecniche come RANSAC (sezione 4.12).

Footnotes

...#tex2html_wrap_inline17969#^10.4

Da un punto di vista pratico 12 coefficienti e 11 gradi di libertà