Regressione ad un conica

È chiaramente possibile generalizzare la regressione della parabola, della circonferenza e dell'ellissi a una qualsiasi conica (sezione 1.6) arbitrariamente orientata.

Siano $(x_i, y_i)^{\top}$, con $i=1, \ldots, n$, punti affetti da rumore appartenenti al luogo dei punti da stimare.

L'equazione (1.56) può essere riscritta nella forma

$$\mathbf{a}_i^{\top}\boldsymbol\beta=0$$ (3.106)

dove $\mathbf{a}_i=\left\{ x_i^2, x_i y_i, y_i^2, x_i, y_i, 1 \right\}$ e $\boldsymbol\beta=\left\{ a,b,c,d,e,f \right\}$ da cui risulta evidente che per ottenere i parametri $\boldsymbol\beta$ di una qualsiasi conica si può procedere con la soluzione di un problema omogeneo di tipo $\mathbf{A}\boldsymbol\beta=0$ in 6 incognite, minimizzando una quantità del tipo

$$S = \sum_{i=1}^{n} \mathbf{a}_i^{\top}\boldsymbol\beta$$ (3.107)

Tale soluzione chiaramente minimizza un errore algebrico e non geometrico, pertanto questo non è lo stimatore ottimo.

Una formulazione alternativa per ricavare i parametri delle coniche si può trovare in (FPF99).

Infine, per capire se un punto è vicino all'equazione di una conica ovvero per ottenere una approssimazione geometrica della distanza punto-conica, si può calcolare l'errore di Sampson (sezione 3.3.8) sfruttando il fatto che, per una conica di equazione (1.56), il gradiente della varietà assume una forma molto semplice da calcolare:

$$\nabla f (x,y) = \left( 2 a x + b y + d, b x + 2 c y + e \right)$$ (3.108)