Total Least Squares
Estendiamo ora il problema lineare
al caso più generale dove anche la matrice dei coefficienti
è perturbata (Errors-In-Variables model EIV (VHV91)).
Questo tipo di problema di regressione ai minimi quadrati è chiamato Total Least squares (TLS).
La soluzione del sistema perturbato
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(3.21) |
corrisponde a trovare la soluzione
che minimizzi la norma di Frobenius
, soggetta al vincolo (3.21).
Con il TLS classico tutte le colonne della matrice dei dati contengono rumore. Se alcune colonne sono senza errori, allora la soluzione è chiamata mixed TLS-LS.
Il sistema (3.21) può essere riscritto come
![\begin{displaymath}
\left( \left[ \mathbf{A}\vert\mathbf{b} \right] + \left[ \ma...
...\begin{bmatrix}
\mathbf{x} \\
-1
\end{bmatrix} = \mathbf{0}
\end{displaymath}](img842.png) |
(3.22) |
Sfruttando la decomposizione SVD e il teorema di Eckart-Young-Mirsky (la matrice formata dai primi
termini della decomposizione SVD è la matrice che meglio approssima la matrice
sotto la norma di Frobenius) è possibile trovare la soluzione del problema (3.21).
Sia pertanto
![\begin{displaymath}
\mathbf{C} := \left[ \mathbf{A}\vert\mathbf{b} \right] = \mathbf{U} \boldsymbol\Sigma \mathbf{V}^{\top}
\end{displaymath}](img844.png) |
(3.23) |
la Decomposizione a Valori Singolari della matrice
, dove
.
La soluzione Total Least squares, se esiste, si scrive come
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(3.24) |
`avendo partizionato
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(3.25) |
`ed è possibile ottenere la miglior stima di
come
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(3.26) |
Paolo medici
2025-02-06