Omografia e Coniche

Poiché una trasformazione omografica è invertibile, essa preserva anche la degenerazione della conica. Pertanto una conica non degenere $\mathbf{x}' \sim \mathbf{H} \mathbf{x}$ viene trasformata in una conica non degenere.

Infatti, considerando una conica rappresentata dalla matrice simmetrica $\mathbf{C}$, descritta dall'equazione

$$\mathbf{x}^{\top} \mathbf{C} \mathbf{x} = 0,$$ (1.124)

e sostituendo $\mathbf{x} \sim \mathbf{H}^{-1}\mathbf{x}'$, si ottiene

$$\mathbf{x}'^{\top} \mathbf{H}^{-\top} \mathbf{C} \mathbf{H}^{-1} \mathbf{x}' = 0,$$ (1.125)

che è ancora una forma quadratica

$$\mathbf{C}' \equiv \mathbf{H}^{-\top} \mathbf{C} \mathbf{H}^{-1}.$$ (1.126)

L'uso del simbolo di equivalenza $\equiv$ è necessario in quanto la conica è conosciuta a meno di un fattore moltiplicativo.

Questo risultato notevole permette di dimostrare che una conica vista in prospettiva è ancora una conica.