Omografia e Rette

Esistono applicazioni interessanti dell'omografia in diversi ambiti.

Una trasformazione omografica trasforma generalmente rette in rette. Il dualismo punto-retta permette inoltre di descrivere direttamente come vengono trasformate le equazioni delle rette.

La trasformazione $\mathbf{H}_{ij}$ che trasforma punti $\mathbf{x}_i$ dall'immagine $i$ a punti $\mathbf{x}_j$ dell'immagine $j$ trasforma le rette secondo la relazione duale:

$$\begin{array}{rl} \mathbf{x}_j & \sim \mathbf{H}_{ij} \math... ...f{l}_j & \sim \mathbf{H}_{ij}^{-\top} \mathbf{l}_i. \end{array}$$ (1.118)

Infatti, se una retta $\mathbf{l}_i$ è rappresentata dall'equazione

$$\mathbf{l}_i^\top\mathbf{x}_i=0,$$ (1.119)

e $\mathbf{x}_j\sim\mathbf{H}_{ij}\mathbf{x}_i$, allora la retta corrispondente nell'immagine $j$ deve soddisfare

$$\mathbf{l}_j^\top\mathbf{x}_j=0,$$ (1.120)

da cui si ricava

$$\mathbf{l}_j \sim \mathbf{H}_{ij}^{-\top}\mathbf{l}_i.$$ (1.121)

Esaminando punti all'infinito si vede come un punto improprio abbia coordinate

$$(x,y,0)^{\top}.$$

Esiste pertanto una linea speciale

$$\mathbf{l}_{\infty}=(0,0,1)^{\top}$$

che contiene tutti questi punti. La linea $\mathbf{l}_{\infty}$ è detta linea all'infinito del piano proiettivo e separa, nella rappresentazione mediante coordinate omogenee, i punti propri dai punti impropri.

Il principio di dualità permette quindi di spiegare come, data una trasformazione $\mathbf{M}$ (proiettiva o omografica), la trasformazione che trasforma un punto $\mathbf {x}$ in $\mathbf{x}'$ si scriva

$$\mathbf{x}' \sim \mathbf{M}\mathbf{x},$$ (1.122)

mentre la trasformazione che trasforma una retta $\mathbf{l}$ diventi invece

$$\mathbf{l}' \sim \mathbf{M}^{-\top}\mathbf{l}.$$ (1.123)