Odometria 3D–3D

Data una serie di osservazioni temporali di punti tridimensionali ricostruiti negli istanti $t$ e $t'$, indicate rispettivamente con $(\mathbf{x}_i,\mathbf{x}'_i)$, è possibile stimare una trasformazione rigida $(\mathbf{R}, \mathbf{t})$ che trasforma i punti osservati all'istante $t$ in quelli osservati all'istante $t'$ secondo

$$\mathbf{x}'_i = \mathbf{R}\mathbf{x}_i+\mathbf{t}.$$ (10.101)

Tale approccio è generale e non dipende dal particolare sensore utilizzato per ricavare i punti tridimensionali.

La stima della trasformazione può essere formulata come minimizzazione della funzione costo

$$\sum_i \left\Vert \mathbf{x}'_i-\mathbf{R}\mathbf{x}_i-\mathbf{t} \right\Vert^2.$$ (10.102)

Il problema di registrazione 3D–3D può essere risolto direttamente come problema di stima della trasformazione rigida, secondo la procedura descritta nella sezione 1.10. Una parametrizzazione affine della trasformazione può essere utilizzata come inizializzazione del problema e stimata mediante tecniche lineari da dati sovradimensionati. Tale soluzione, tuttavia, non rispetta in generale i vincoli propri di una trasformazione rigida e, in particolare, la sua parte lineare non è vincolata ad appartenere al gruppo delle rotazioni $SO(3)$.

Una soluzione più rigorosa consiste nel vincolare direttamente il problema allo spazio delle trasformazioni rigide. In questo caso è possibile ottenere una soluzione in forma chiusa, ad esempio mediante l'algoritmo di Horn (Hor87), che determina la rotazione ottima attraverso una rappresentazione tramite quaternioni. Analogamente, la procedura basata sulla decomposizione ai valori singolari descritta nella sezione 1.10 permette di ottenere direttamente la trasformazione rigida ottima.

Partendo da una di queste soluzioni, l'utilizzo di un minimizzatore non lineare, per esempio Levenberg–Marquardt (sezione 4.3.6), può essere utilizzato per raffinare ulteriormente la stima dei sei gradi di libertà della posa, ovvero tre parametri di rotazione e tre di traslazione. Questo approccio è indicato come 3D-to-3D poiché stima il moto a partire da corrispondenze tra punti tridimensionali.