Filtro di Kalman a miscela di Gaussiane

Tutte le varianti del filtro di Kalman descritte nelle sezioni precedenti rappresentano la distribuzione di probabilità dello stato attraverso una singola distribuzione gaussiana. Questa ipotesi risulta adeguata in molti problemi pratici ma non consente di rappresentare correttamente distribuzioni multimodali.

Si consideri, ad esempio, un problema di localizzazione nel quale due posizioni differenti risultano entrambe compatibili con le osservazioni disponibili. In questo caso la distribuzione dello stato presenta più massimi locali e non può essere descritta accuratamente mediante una sola gaussiana.

Una possibile estensione consiste nel rappresentare la distribuzione dello stato come una miscela di gaussiane. Questo approccio prende il nome di Gaussian Sum Kalman Filter (GS-KF) e può essere interpretato come una generalizzazione multimodale del filtro di Kalman.

Nel Gaussian Sum Kalman Filter la distribuzione dello stato viene approssimata come

$$p(\mathbf{x}) = \sum_{i=1}^{M} w_i \mathcal{N} \left( \mathbf{x}; \boldsymbol{\mu}_i, \mathbf{P}_i \right)$$ (3.42)

dove $\boldsymbol{\mu}_i$ e $\mathbf{P}_i$ rappresentano rispettivamente il valor medio e la matrice di covarianza della $i$-esima componente gaussiana, mentre $w_i$ è il peso associato alla componente stessa. I pesi devono soddisfare le condizioni

$$w_i \ge 0$$ (3.43)

e

$$\sum_{i=1}^{M} w_i = 1.$$ (3.44)

Ogni componente della miscela viene propagata nel tempo in modo indipendente utilizzando un filtro di Kalman, un filtro di Kalman Esteso oppure un filtro Sigma-Point, a seconda della natura del modello considerato. La fase di predizione e la fase di osservazione vengono pertanto applicate separatamente a ciascuna componente della miscela.

Dopo l'acquisizione di una nuova osservazione, i pesi $w_i$ vengono aggiornati mediante il teorema di Bayes in funzione della probabilità di osservare la misura corrente secondo ciascuna ipotesi gaussiana. Le componenti maggiormente compatibili con l'osservazione vedranno aumentare il proprio peso, mentre quelle meno compatibili verranno progressivamente penalizzate.

Il Gaussian Sum Kalman Filter permette quindi di rappresentare esplicitamente situazioni di ambiguità nelle quali esistono più ipotesi plausibili sullo stato del sistema. Tale caratteristica risulta particolarmente utile nei problemi di tracking, localizzazione e associazione dati, nei quali la distribuzione a posteriori può assumere una struttura marcatamente multimodale.

Uno dei principali limiti del Gaussian Sum Kalman Filter è la crescita del numero di componenti della miscela. A ogni iterazione nuove osservazioni o modelli non lineari possono richiedere un numero crescente di gaussiane per rappresentare accuratamente la distribuzione. Per mantenere sotto controllo il costo computazionale e l'occupazione di memoria vengono normalmente impiegate tecniche di eliminazione (pruning) delle componenti meno probabili e tecniche di fusione (merging) delle componenti sufficientemente simili.

Dal punto di vista concettuale il Gaussian Sum Kalman Filter può essere considerato una soluzione intermedia tra i filtri di Kalman classici e i filtri particellari. Rispetto ai primi permette di rappresentare distribuzioni multimodali, mentre rispetto ai secondi mantiene una rappresentazione parametrica compatta dello stato, sostituendo la nuvola di particelle con un numero limitato di componenti gaussiane.