Stima del Massimo a Posteriori

Il Maximum a Posteriori estimator, o maximum a posteriori probability (MAP), fornisce come stima una delle mode della distribuzione a posteriori. A differenza della stima alla massima verosimiglianza, la MAP sfrutta la densità a posteriori facendo uso della teoria bayesiana, unendo la conoscenza a priori $f(\boldsymbol\vartheta)$ con la densità condizionale $\mathcal{L}(\boldsymbol\vartheta \vert \mathbf{x}) = f(\mathbf{x} \vert \boldsymbol\vartheta)$ di verosimiglianza, ottenendo la nuova stima

$$\hat{\boldsymbol\vartheta}_{MAP} = \argmax_{\boldsymbol\vart... ...\mathbf{x} \vert \boldsymbol\vartheta) f(\boldsymbol\vartheta)$$ (2.61)

e nel caso di eventi indipendenti la formula si trasforma in

$$\hat{\boldsymbol\vartheta}_{MAP} = \argmax_{\boldsymbol\vart... ... \boldsymbol\vartheta) \right\} + \log f(\boldsymbol\vartheta)$$ (2.62)

dove, sempre per semplificare i conti, si sono sfruttate le proprietà del logaritmo.

Chiaramente se la probabilità a priori $f(\boldsymbol\vartheta)$ è uniforme, MAP e MLE sono coincidenti.

Sebbene la formulazione della MAP sia stata introdotta in questa sezione nel contesto della stima di un singolo vettore di parametri, lo stesso principio può essere applicato ad un insieme arbitrariamente grande di variabili. Nei moderni problemi di visione artificiale, robotica e fusione sensoriale la stima MAP viene spesso formulata come un problema di ottimizzazione su factor graph (si veda la Sezione 10.7.6), dove le incognite possono rappresentare simultaneamente stati dinamici, pose, landmark e parametri di calibrazione.