Splatting 2D di Gaussiane

Invece di rappresentare la scena mediante gaussiane volumetriche tridimensionali, è possibile utilizzare primitive gaussiane definite su elementi bidimensionali locali. Tecniche di questo tipo derivano dalla tradizione dello splatting sviluppata nella computer graphics molto prima dell'introduzione delle moderne rappresentazioni basate su gaussiane tridimensionali.

Le gaussiane 2D sono rappresentate da un punto centrale $\mathbf{p}_k$, da due vettori tangenti ortonormali $(\mathbf{t}_u,\mathbf{t}_v)$ e da due fattori di scala $(s_u,s_v)$ che corrispondono alle deviazioni standard della gaussiana nelle due direzioni del piano.

Si può organizzare l'orientazione della gaussiana 2D in una matrice $3 \times 3$ di rotazione $\mathbf{R} = [\mathbf{t}_u, \mathbf{t}_v, \mathbf{t}_w]$ (parametrizzabile come classica rotazione in 3D) avendo definito $t_w = \mathbf{t}_u \times \mathbf{t}_v$ e i fattori di scala in una matrice diagonale $\mathbf{S}=\diag (s_u, s_v, 0)$.

La parametrizzazione del piano può essere scritta come una trasformazione affine delle coordinate locali $(u,v)$:

$$P(u,v) = \mathbf{p}_k + s_u\mathbf{t}_u u + s_v\mathbf{t}_v v = \mathbf{H} \begin{bmatrix} u\\ v\\ 1 \end{bmatrix},$$ (10.123)

e

$$\mathbf{H} = \begin{bmatrix} s_u\mathbf{t}_u & s_v\mathbf{t}_v & \mathbf{p}_k \end{bmatrix}.$$ (10.124)

dove $\mathbf{H}$ è la matrice dell'embedding affine.

La distribuzione dei pesi sul piano locale viene descritta da una gaussiana bidimensionale isotropa

$$G(u,v) = \exp\left( -\frac{u^2+v^2}{2} \right),$$ (10.125)

la cui valutazione nel punto $(u,v)$ determina il contributo della gaussiana rispetto al centro della primitiva.