Regressione ad una conica

È chiaramente possibile generalizzare la regressione della parabola, della circonferenza e dell'ellisse a una qualsiasi conica (sezione 1.7) arbitrariamente orientata.

Siano $(x_i, y_i)^{\top}$, con $i=1, \ldots, n$, punti affetti da rumore appartenenti al luogo dei punti da stimare.

L'equazione (1.92) può essere riscritta nella forma

$$\mathbf{a}_i^{\top}\boldsymbol\beta = 0$$ (4.123)

dove

$$\mathbf{a}_i = \left\{ x_i^2,\, x_i y_i,\, y_i^2,\, x_i,\, y_i,\, 1 \right\}$$

e

$$\boldsymbol\beta = \left\{ a,\, b,\, c,\, d,\, e,\, f \right\}.$$

Risulta quindi evidente che i parametri $\boldsymbol\beta$ di una generica conica possono essere stimati risolvendo un problema omogeneo del tipo

$$\mathbf{A}\boldsymbol\beta = 0$$

in sei incognite.

Poiché il sistema ammette la soluzione banale $\boldsymbol\beta=\mathbf{0}$, è necessario introdurre un opportuno vincolo di normalizzazione e stimare i parametri minimizzando una funzione costo del tipo

$$S = \sum_{i=1}^{n} \left( \mathbf{a}_i^{\top}\boldsymbol\beta \right)^2.$$ (4.124)

Tale soluzione minimizza un errore algebrico e non la distanza geometrica punto-conica; pertanto non costituisce in generale lo stimatore ottimo.

Una formulazione alternativa specifica per il fit di ellissi mediante minimi quadrati diretti può essere trovata in (FPF99).

Infine, per stimare quanto un punto sia vicino alla conica, oppure per ottenere un'approssimazione della distanza geometrica punto-conica, è possibile utilizzare l'errore di Sampson (sezione 4.3.8). A tale scopo si sfrutta il gradiente della funzione implicita associata alla conica di equazione (1.92), che assume la forma

$$\nabla f(x,y) = \left( 2ax + by + d,\, bx + 2cy + e \right).$$ (4.125)