Filtro di Kalman monodimensionale

È interessante mostrare, come esempio, il caso semplificato di filtro di Kalman di stato monodimensionale e coincidente con l'osservabile. Le equazioni di transizione e di osservazioni sono

$$\begin{array}{l} x_{i} = x_{i-1} + u_{i} + w_{i} \\ z_{i} = x_{i} + v_{i} \end{array}$$ (3.24)

dove $w_i$ è il rumore di processo la cui varianza $q_i$ rappresenta la stima della probabilità di variazione del segnale stesso (bassa se il segnale varia poco nel tempo, alta se il segnale varia molto) mentre $v_i$ è il rumore di osservazione di varianza $r_i$, rumore associato all'osservazione dello stato.

Il ciclo di predizione è molto semplice e diventa:

$$\begin{array}{l} x^{-}_{i} = x_{i-1} + u_{i}\\ p^{-}_{i} = p_{i-1} + q_i \end{array}$$ (3.25)

Il guadagno di Kalman $k$ diventa

$$k_i = \frac{p^{-}_{i}}{p^{-}_{i} + r_i}$$ (3.26)

e infine la fase di osservazione diventa

$$\begin{array}{l} x_{i} = x^{-}_{i} + k_i (z_i - x^{-}_i) =... ...(1 - k_i) x^{-}_i \\ p_{i} = (1 - k_i) p^{-}_{i} \end{array}$$ (3.27)

È solitamente possibile stimare a priori il valore di $r$, mentre quello di $q$ va impostato attraverso esperimenti.

Come si vede nella prima delle equazioni (3.27), il fattore $k$ è di fatto un blending factor tra l'osservazione dello stato e lo stato stimato precedente.

Nel caso monodimensionale è facile vedere come il guadagno $k$ e la varianza $p$ sono processi indipendenti dallo stato e dalle osservazioni, tanto meno dall'errore. Se $r$ e $q$ non variano nel tempo, $k$ e $p$ sono sequenze numeriche che convergono a un numero costante determinato solamente dalla caratterizzazione del rumore, indipendentemente dai valori assunti all'inizio. Si confronti questo risultato con quello che si ottiene dall'equazione (2.68).