Principio di Dualità

Un concetto che tornerà utile di seguito è il principio di dualità punto-retta. Tale principio si basa sulla proprietà commutativa del prodotto scalare applicata all'equazione della retta scritta in forma implicita dove i luoghi dei punti della retta sono espressi sotto forma di coordinate omogenee:

$$\mathbf{l}^{\top} \mathbf{x} = \mathbf{x}^{\top} \mathbf{l} = 0$$ (1.76)

È pertanto possibile ottenere formazioni duali quando ai parametri di una retta $\mathbf{l}$ si sostituisce quelli di un suo punto $\mathbf {x}$.

Da questa considerazione nasce il principio di dualità (Duality Principle) che garantisce che la soluzione del problema duale, dove il significato di retta e punto vengono scambiati, è anche soluzione del problema originale.

Per esempio, come si è visto nelle sezioni precedenti, dati due punti $\mathbf {p}$ e $\mathbf{q}$ è possibile definire una linea $\mathbf{l} = \mathbf{p} \times \mathbf{q}$ passante per essi mentre date due linee $\mathbf{l}$ e $\mathbf{m}$ è possibile definire un punto $\mathbf{x} = \mathbf{l} \times \mathbf{m}$ come loro intersezione.