Parametrizzazioni alternative nello spazio e nelle varietà

I punti nei vari spazi $\mathbb{R}^n$ possono essere descritti con coordinate diverse da quelle cartesiane. In questa sezione vengono presentate alcune parametrizzazioni utili che verranno usate nel resto del libro.

Introduciamo la seguente definizione:

Definizione 3   $S^{n}$ è la sfera unitaria in $\mathbb{R}^{n}$ tale che:

$$S^{n} := \left\{ \mathbf{x} \in \mathbb{R}^{n} : \Vert \mathbf{x} \Vert^2 = 1 \right\}$$ (1.51)

Siccome una generica parametrizzazione su $S^{n}$ avrà $n+1$ componenti e 1 solo vincolo questa deve possedere per definizione $n$ gradi di libertà (DOF).

Nel caso $n=0$ la “sfera” unitaria $S^{0} = \left\{ -1, +1 \right\}$ è formata da solo 2 punti e perciò non è una varietà connessa.

Con $n=1$ la varietà è esattamente la stessa di $SO(2)$ ovvero con la parametrizzazione $S^{1} = \left\{ \begin{bmatrix} \cos \alpha \\ \sin \alpha \end{bmatrix} ; \alpha \in \mathbb{R} \right\}$.

La sfera $S^{2}$ (la superficie della sfera o una direzione in $\mathbb{R}^3$) invece è una 2-varietà che non ha struttura di gruppo. Può essere parametrizzata da due parametri (ad esempio le coordinate polari come vedremo tra poco) ma presenterà sempre delle singolarità.

Le sfere $S^n$ e i gruppi di rotazione $SO(n)$ sono esempi di varietà differenziabili che verranno utilizzate estensivamente per rappresentare orientazioni e pose geometriche.