Consideriamo ora il secondo esempio: Il pendolo invertito.
In questo caso vogliamo portare e mantenere in equilibrio un pendolo invertito, ovvero ruotato di 180°.
Nel simulatore iPendulum™ la possibile orientazione, o errore, iniziale del pendolo varia da -90° a +90°, dove 0° sta per errore nullo, ovvero pendolo in equilibrio.
Una volta inserito il valore iniziale, ci basta premere il pulsante "Posiziona" per posizionare il pendolo nel punto desiderato, quindi premendo il tasto "Simula" faremo partire la simulazione che provvederà, basandosi su regole fuzzy, a portare, se possibile, il pendolo nello stato di equilibrio; facciamo notare che è stato usato il termine "se possibile", perché se l'angolo inserito è troppo grande, il motore non riesce a portare il pendolo in equilibrio, e questo può ricadere a terra, o fermarsi ad un certo angolo, senza muoversi ne' su ne' giù.
Il tasto "Step" consente il controllo della simulazione passo-passo, mentre "Soluzione" consente di configurare in modo ottimale la matrice delle regole per portare a termine il problema.
E' possibile, inoltre, modificare la tabella delle regole su cui si basa il movimento del pendolo. A questo proposito è necessario soffermarsi brevemente sul come è stata realizzata la suddetta matrice, e come viene utilizzata dal simulatore.

Nello sviluppo delle regole Fuzzy, viene valutato l'angolo d'errore e la velocità angolare con cui esso si sta muovendo; le regole sono quindi del tipo:

"Se l'angolo è piccolo e negativo e la velocità è piccola e positiva, allora applica una coppia pari a zero"
ovvero:
IF a is NPAND is v is PP THEN f is ZE

Dove: a è l'errore del pendolo
v è la velocità angolare del pendolo
f è la coppia del motore

Qui di seguito riportiamo la matrice delle regole e i fuzzy sets sui quali sono basate:

Errore Angolare Pendolo
Velocità Angolare Pendolo
Coppia Applicata

Il sistema di controllo del simulatore iPendulum™ può essere schematizzato nel seguente modo:

Il blocco "Modello Pendolo Invertito" contiene le proprietà fisiche del pendolo in questione, e ne simula il movimento, tenendo in considerazione tutte le forze agenti su di esso (forza di gravità e coppia del motore). Il Campionatore effettua la lettura dell'angolo d'errore del pendolo a determinati istanti di tempo (più precisamente ogni 0,1s). Il controllore applica al pendolo una coppia in grado di riportare il pendolo in equilibrio (azzerare l'errore).

Il controllore fuzzy si basa su tre stadi:

1. Fuzzificazione
2. Controllo
3. Defuzzificazione

Fuzzificazione
La fuzzificazione consiste nella conversione dei valori di input (che nel nostro caso sono angolo e velocità angolare) in valori linguistici con un grado di membership che può essere dato come nel nostro caso da funzioni triangolari; per ogni variabile abbiamo definito cinque sets (vedi figura).

Controllo
Per ogni regola "if then" definita viene computato il grado di applicabilità della stessa dato dal minimo tra i due valori di membership delle variabili.

Defuzzificazione
La defuzzificazione consiste nella riconversione di valori linguistici di output in valori crisp; quetso viene effettuato tramite la regola del controide che, nel nostro caso, è facilmente schematizzabile nel seguente modo:

Dove zi è il grado di applicabilità della regola e fi è il valore centrale della funzione di mebership.

Il calcolo delle variabili di controllo viene effettuato, ad ogni iterazione, seguendo il seguente schema:

Dove:

j = Accelerazione angolare
g = Accelerazione gravitazionale
l = Lunghezza braccio del pendolo (2m)
a = Angolo d'errore del pendolo
v = Velocità angolare
m = Massa pendolo (1Kg)
f = Coppia del motore (max. 19Nm)
dv = Variazione di velocità angolare (nell'intervallo di tempo dt)
dt = Intervallo di tempo (0.1s)
da = Variazione angolo d'errore del pendolo (nell'intervallo di tempo dt)

Si noti che la simulazione, essendo effettuata da un calcolatore, non è continua ma discreta, con un tempo di campionamento dt pari a un decimo di secondo.