Retta implicita

Dando per conosciuta l'equazione della retta scritta in forma esplicita, dedichiamo l'attenzione alla retta scritta in forma implicita.

L'equazione della retta in forma implicita è:

$$a x + b y + c = 0$$ (1.14)

Tale rappresentazione permette di considerare sia rette orizzontali che verticali senza singolarità alcuna. Il parametro $c$ vale zero quando la retta passa per l'origine, e in generale la retta passa per un punto $(x',y')$ quando $c=-ax'-by'$.

Il vettore generatore dalla retta è $\mathbf{v}=(-b, a)=(\frac{1}{a},-\frac{1}{b})$, mentre il vettore ortogonale alla retta data è $\mathbf{v}'=(a,b)$. La retta ortogonale a quella data pertanto ha equazione del tipo

$$bx - ay + c' = 0$$ (1.15)

dove $c'$ si ottiene selezionando il punto della retta originale da cui deve passare la perpendicolare.

I parametri della retta scritta in forma implicita sono omogenei (l'equazione 1.14 viene infatti chiamata equazione omogenea della retta) ovvero rappresentano un sottospazio vettoriale in quanto qualunque multiplo di tali parametri rappresenta la medesima retta. Tali parametri sono pertanto definiti a meno di un fattore moltiplicativo.

Le rette, scritte in forma omogenea implicita, devono soddisfare l'equazione (prodotto scalare):

$$\mathbf{l}^{\top} \mathbf{x} = 0$$ (1.16)

con $\mathbf{x} \in \mathbb{R}^{3}$ punto in coordinate omogenee e $\mathbf{l} \in \mathbb{R}^{3}$ parametri della retta. Per le coordinate omogenee si veda la precedente sezione 1.4) mentre si veda per le implicazioni di questa scrittura, sul dualismo punto retta, il paragrafo 1.8.2.

Siccome la retta implicita è conosciuta a meno di un fattore moltiplicativo, esistono infiniti modi di esprimere la medesima retta. È possibile normalizzare la retta dividendo i parametri per la lunghezza $\sqrt{a^2 +b^2}$. In tal caso si ottiene una soluzione particolare della retta e i parametri sono quelli di una retta scritta in coordinate polari (cfr. equazione 1.19).