Circular regression

Se si vuole calcolare la regressione lineare di una serie da dati verso l'equazione della circonferenza di centro in $(x_0,y_0)$ e raggio $r$ la funzione da minimizzare è

$$S = \sum \left( (x_i - x_0)^{2} + (y_i - y_0)^{2} - r^2 \right)^2$$ (3.34)

dove si minimizza la distanza ortogonale tra i punti e il modello. Per risolvere il problema conviene eseguire un cambio di variabile e minimizzare la forma algebrica:

$$S = \sum \left( z_i + Bx_i + Cy_i + D \right)^2$$ (3.35)

dove è stato introdotto $z_i = x^2_i +y^2_i$ per semplicità. Il problema si riduce alla soluzione di un sistema lineare $3 \times 3$ di equazione

$$\begin{array}{lllll} \sum z_i x_i & + B \sum x^{2}_i & + C \s... ...& + B \sum x_i & + C \sum y_i & + D \sum 1 & = 0 \end{array}$$ (3.36)

simmetrico, facilmente risolvibile. Ricavati i parametri $B$, $C$ e $D$ è possibile ottenere i parametri originali del cerchio:

$$x_0 = - \frac{B}{2} \:\: y_0 = -\frac{C}{2} \:\: r^2 = x^2_0 + y^2_0 - D$$ (3.37)