Regressione ortogonale a un piano

Si possono fare le stesse considerazioni della retta anche per il piano. Va sottolineato che la regressione ortogonale sia di una retta, di un piano, o di un iperpiano, è da considerarsi come un problema di autovalori e risolvibile attraverso la decomposizione SVD (è esattamente la principale applicazione della PCA).

Dichiamariamo $\mathbf{p_0}=E[\mathbf{p}]$ il centroide dei punti. Data l'equazione del piano 1.23 e come funzione errore la sommatorie delle distanze 1.25 si ottiene immediatamente il vincolo:

$$k = - \mathbf{p_0} \cdot \hat{n}$$ (3.29)

e, come nel caso lineare, il centroide appartiene al piano. È pertanto possibile descrivere il piano come

$$(\mathbf{p} - \mathbf{p_0}) \cdot \hat{n} = 0$$ (3.30)

sistema omogeneo sovradimensionato, la cui soluzione si può ottenere con la pseudoinversa o la decomposizione SVD. Il valore di $\hat{n}$ così ricavato sarà conosciuto a meno di un fattore moltiplicativo, ma si può sempre normalizzare, forzando alla lunghezza unitaria (la decomposizione SVD ritorna nativamente soluzioni normalizzate).