Coordinate Omogenee

In questa sezione vengono introdotte le coordinate omogenee, un artificio matematico che risulta molto utile per la discussione del problema della geometria proiettiva ma anche di diversi formalismi discussi nelle sezioni seguenti.

Chiameremo coordinate omogenee (homogeneous coordinates) di un punto del piano $\mathbf{p} = ( x, y ) \in \mathbb{R}^{2}$ una qualsiasi terna ordinata $\mathbf{\tilde{p}} =(x', y', w') \in \mathbb{R}^{3}$ di numeri reali tali che $w' \neq 0$, $\frac{x'}{w'} = x$ e $\frac{y'}{w'} = y$. Allo stesso modo coordinate omogenee di un punto $\mathbf{p} = ( x, y, z ) \in \mathbb{R}^{3}$ saranno una quadrupla di numeri $\mathbf{\tilde{p}} =(x', y', z', w') \in \mathbb{R}^{4}$ tali che $w' \neq 0$ e $\frac{x'}{w'} = x$, $\frac{y'}{w'} = y$ e $\frac{z'}{w'} = z$.

Risulta ben chiaro che il punto $\mathbf{\tilde{p}}$ espresso in coordinate omogenee equivale al punto reale $\mathbf{p}$ (inhomogeneous):

$$\mathbf{\tilde{p}} = ( x',y',w' ) = w' \cdot (\frac{x'}{w'},\frac{y'}{w'},1) = w' \cdot (x,y,1) = w' \mathbf{p}$$

il vettore $(x,y,1)$ è chiamato augmented vector.

Le coordinate omogenee hanno le seguenti proprietà:

• Le coordinate omogenee sono definite a meno di un coefficiente di proporzionalità. Ad esempio, la terna $(x,y,1)$ e ogni suo multiplo $\lambda \neq 0$, ovvero $( x, y, 1 ) \cong ( \lambda x, \lambda y, \lambda )$, sono coordinate omogenee dello stesso punto dello spazio $(x,y)$;
• I punti in coordinate omogenee con coordinata $w=0$ sono detti impropri, points at infinity o ideal points, e non hanno nessun significato geometrico nello spazio cartesiano, ma possono rappresentare un punto all'infinito, nella direzione del vettore tridimensionale $(x,y,z)$.

In coordinate omogenee c'è pertanto distinzione tra vettore ($w=0$) e punto ($w \neq 0$), cosa che non accade con le coordinate euclidee. Le coordinate omogenee permetto di rappresentare punti all'infinito, e consentono di esprimere tutte le trasformazioni di coordinate in forma matriciale.

L'insieme costituito da tutte le quaterne (terne) non nulle forma uno spazio proiettivo tridimensionale (bidimensionale).

L'uso di coordinate omogenee è usato in computer graphics per il fatto non banale di poter rappresentare ancora le trasformazioni affini attraverso l'uso di matrici e in più permettono di rappresentare anche le proiezioni prospettiche allo stesso modo.