Sampson Error

Si affronti il problema di calcolare la distanza tra un punto $\mathbf{p}$ rispetto a una varietà geometrica $f(\mathbf{x})=0$. Il risultato che minimizzi l'errore geometrico $\hat{\mathbf{x}}$ è

$$\hat{\mathbf{x}} = \argmin_\mathbf{x} \Vert \mathbf{p} - \mathbf{x} \Vert$$ (3.18)

sotto il vincolo $f(\mathbf{x})=0$.

La differenza tra minimizzare una quantità algebrica in maniera lineare e una quantità geometrica in maniera non-lineare ha spinto la ricerca a cercare un certo compromesso. Sampson, nel cercare di eseguire una regressione alle coniche, ha supposto che le derivate della funzione costo nell'intorno del minimo sono pressochè lineari e dunque approssimabili (first order geometric distance).

La funzione $f$ può essere approssimata con Taylor in modo tale che

$$\tilde{f}(\mathbf{x}) \approx f(\mathbf{p}) + \mathbf{J}_f(\mathbf{p}) \delta_x = 0$$ (3.19)

con $\mathbf{J}_f$ jacobiano della funzione $f$ e $\delta_x = \mathbf{x}-\mathbf{p}$. Questa è l'equazione di un iperpiano e la distanza tra il punto $\mathbf{p}$ con il piano $\tilde{f}(\mathbf{x})=0$ è la distanza di Sampson.

Il problema a questo punto diventa quello di trovare il punto $\mathbf{x}$ più vicino a $\mathbf{p}$, ovvero minimizzare $\Vert\delta_x\Vert$, che soddisfi il vincolo lineare:

$$\mathbf{J}_f(\mathbf{p}) \delta_x = -f(\mathbf{p})$$ (3.20)

Essendo un caso di minimizzazione con vincoli si risolve attraverso l'uso dei moltiplicatori di Lagrange, da cui si ottiene il risultato notevole

$$\delta_x = - \mathbf{J}^{\top}_f (\mathbf{J}_f \mathbf{J}^{\top}_f)^{-1} f(\mathbf{p})$$ (3.21)