Media ponderata con la varianza

Avendo più osservazioni dello stesso osservabile, attraverso differenti metodi ognuna con varianza differente $\sigma^{2}_i$, è possibile combinare tra loro le singole osservazioni attraverso una media pesata (stimatore di massima verosimiglianza maximum likelihood estimator) a cui ogni singolo contributo viene assegnato un peso

$$w_i = \frac{1}{\sigma^{2}_i}$$ (2.73)

In questo modo la varianza della media diminuisce ed equivale a

$$\sigma^{2}_{\bar{x}} = \frac{1}{\sum 1/\sigma^{2}_i}$$ (2.74)

Conseguenza diretta è il poter unire $n$ letture dello stesso sensore sullo stesso osservabile. La varianza finale si riduce infatti

$$\sigma^{2}_{\bar{x}} = \frac{ \sigma^{2}_0 } {n}$$ (2.75)

É possibile costruire in modo iterativo questo risultato attraverso la successione:

$$\bar{x}_{i+1} = (1 - k) \bar{x}_i + k x_{i+1} \quad k = \frac{\sigma^2_{\bar{x} } } { \sigma^2_{\bar{x} } + \sigma^2_{i+1} }$$ (2.76)

che è la stessa forma del filtro di kalman monodimensionale, dove si vede bene che, senza rumore di processo, il guadagno $k$ é tendente a zero.