Parameter Estimation

Kalman (inteso in tutte le sue varianti) è classicamente visto come stimatore di stato. Tuttavia è largamente diffuso, principalmente in machine learning, l'utilizzo di queste tecniche per stimare i parametri di un modello:

$$\mathbf{y}_k = f(\mathbf{x_k}, \mathbf{p})$$ (2.67)

dove $\mathbf{y}_k$ sono le uscite del sistema, $\mathbf{x_k}$ gli ingressi e $f$ una funzione basata sui parametri $\mathbf{p}$. Il concetto di addestramento o fitting del modello consiste nel determinare i parametri $\mathbf{p}$. Kalman risolve questo problema indicando come stato del problema $\mathbf{p}$ in modo da ottenere un sistema iterativo del tipo

$$\left\{ \begin{array}{l} \mathbf{p}_{k+1} = \mathbf{p}_{k} + \mathbf{u}_k \mathbf{y}_k = f(\mathbf{x}_k, \mathbf{p}_k) \end{array}\right.$$ (2.68)

La scelta della varianza di $\mathbf{u}$ determina la reattività alle variazioni del modello.

Va ricordato che se il problema è lineare la soluzione ottima del problema è una la soluzione di un sistema sovradimensionato dove ogni equazione è pesata con l'inverso della varianza.