Filtro di Kalman Esteso

Il filtro di kalman esteso Extended Kalman Filter (EKF) è una versione non-lineare del filtro di Kalman usata quando l'evoluzione dello stato del sistema è non-lineare.

Il sistema a tempo discreto, formato dall'evoluzione dello stato e dall'osservazione, si può scrivere in maniera generalizzata come

$$\left\{ \begin{array}{rl} \mathbf{x}_{k+1} & = f (\mathbf{x}_{k},... ...{k}) \mathbf{z}_k & = h (\mathbf{x}_{k}, \mathbf{v}_k) \end{array}\right.$$ (2.57)

dove oltre allo stato $\mathbf{x}_{k}$ e agli ingressi $\mathbf{u}_{k}$ anche gli errori di processo $\mathbf{w}_{k}$ e di osservazione $\mathbf{v}_k$ possono influire in maniera non lineare nell'evoluzione dello stato $f$ e nell'osservazione $h$, generalizzando anche il concetto di rumore additivo usato in precedenza.

EKF richiede il calcolo degli jacobiani di $f$ e di $h$. Attraverso le matrici delle derivate è possibile sfruttare le stesse formulazioni matematiche fatte per il caso di Kalman lineare visto in precedenza, usando come matrici

$$\begin{array}{ccc} \mathbf{A}_k = \left. \frac{\partial f(\ma... ...\partial \mathbf{v}}\right\vert _{\bar{\mathbf{x}}} \end{array}$$ (2.58)

Rispetto a kalman lineare, la versione EKF risulta una scelta sub-ottima come stimatore, ma comunque ampiamente accettata e usata in applicazioni pratiche. Il filtro di kalman esteso, per sua costruzione, raggiunge solo una precisione di primo ordine (cosa comunque ottima nel caso di derivate seconde nulle).