Filtri di Kalman particolari

In questa sezione vengono presentate alcuni esempi di filtri di kalman semplici per discuterne alcune proprietà.

Filtri di Kalman monodimensionale

È interessante mostrare il caso semplice di filtro di kalman applicato al caso di stato monodimensionale coincidente con l'osservabile:

$$\begin{array}{l} x_{i} = x_{i-1} + u_{i} + w_{i} z_{i} = x_{i} + v_{i} \end{array}$$ (2.51)

dove $w_i$ è il rumore di processo, la sua varianza $q_i$ rappresenta la stima della probabilità di variazione del segnale stesso (bassa se il segnale varia poco nel tempo, alta se il segnale varia molto) mentre $v_i$ è il rumore di osservazione di varianza $r_i$, rumore associato all'osservazione dello stato.

Il ciclo di predizione è molto semplice e diventa:

$$\begin{array}{l} x^{-}_{i} = x_{i-1} + u_{i} p^{-}_{i} = p_{i-1} + q_i \end{array}$$ (2.52)

Il guadagno di kalman $k$ diventa

$$k_i = \frac{p^{-}_{i}}{p^{-}_{i} + r_i}$$ (2.53)

e infine la fase di osservazione diventa

$$\begin{array}{l} x_{i} = x^{-}_{i} + k_i (z_i - x^{-}_i) = k_... ... + (1 - k_i) x^{-}_i p_{i} = (1 - k_i) p^{-}_{i} \end{array}$$ (2.54)

Il valore di $r$ solitamente è possibile stimarlo a priori, mentre quello di $q$ va impostato attraverso esperimenti.

Come si vede nella prima delle equazioni 2.54, il fattore $k$ è di fatto un blending factor tra l'osservazione e lo stato precedente.

Nel caso monodimensionale è facile vedere che il guadagno $k$ e la varianza $p$ sono processi indipendenti dallo stato e dalle osservazioni, tantomeno dall'errore. Se $r$ e $q$ non variano nel tempo, $k$ e $p$ sono sequenze numeriche che convergono a un numero costante determinato solamente dalla caratterizzazione del rumore, indipendentemente dai valori assunti all'inizio. Si confronti questo risultato con quello che si ottiene dall'equazione 2.76.