Total Least Squares

Estendiamo ora il problema al caso più generale dove la matrice dei coefficienti $\tilde{\mathbf{A}}=\mathbf{A}+\mathbf{E}$ è perturbata (Errors-In-Variables model EIV). Il problema di regressione ai minimi quadrati di questo sistema è chiamato Total Least squares (TLS).

La soluzione del sistema perturbato

$$(\mathbf{A} + \mathbf{E}) \mathbf{x} = \mathbf{b} + \boldsymbol\delta$$ (2.39)

è ancora ampiamente trattata in letteratura. Tecniche diffuse sono la Eckart-Young-Mirsky o il teorema di Eulero-Lagrange, traformando il problema lineare in uno omogeneo con vincoli del tipo

$$\left( (\mathbf{A}\vert\mathbf{b}) + (\mathbf{E}\vert\boldsymbol\delta) \right) \begin{bmatrix}\mathbf{x} -1 \end{bmatrix} = 0$$ (2.40)

La soluzione del problema è il kernel della matrice $(\mathbf{A}\vert\mathbf{b})$.