Propagazione degli errori nell'elaborazione delle immagini

Risulta importante nel campo della visione artificiale la teoria della propazione degli errori, in quanto sono comuni le operazioni di misura di valori, sia il riconoscimento della posizione di una particolare feature, e quanto questo errore possa influire nei calcoli successivi.

L'errore di misura dovuto a rumore interviene in osservazioni nella forma $\hat{x} = x + \varepsilon$, dove $\hat{x}$ è il valore osservato, $x$ il valore reale e $\varepsilon$ è il rumore additivo (per esempio gaussiano bianco di varianza $\sigma^{2}_{x}$).

Nel caso della visione potrebbe essere interessante stimare l'errore in elaborazioni conseguenti dovuto a all'osservazione imprecisa di un punto sull'immagine. In questo caso le variabili da stimare saranno $x$ e $y$ coordinate immagine affette entrambe da errore di localizzazione di varianza $\sigma^{2}_{x}$ e $\sigma^{2}_{y}$ rispettivamente, normalmente (in prima approssimazione) non correlate tra di loro.

La generica funzione che sfrutta la conoscenza di un punto dell'immagine $z(x,y)$ (funzione in due variabili) si può approssimare al primo ordine con Taylor come

$$z(x,y) \approx z(x_0, y_0) + ( \frac{\partial z}{\partial x} )_{x_0,y_0} (x - x_0) + ( \frac{\partial z}{\partial y} )_{x_0,y_0} (y - y_0)$$ (2.29)

da cui la propagazione dell'errore si può scrivere come

$$\sigma^{2}_{z} = \left( \frac{\partial z}{\partial x} \right)^{2} \sigma^{2}_{x} + \left( \frac{\partial z}{\partial y} \right)^{2} \sigma^{2}_{y}$$ (2.30)

Esempio 1. La propagazione dell'errore di $z = \frac{1}{x \pm y}$ risulta essere

$$\sigma^{2}_{z} = \frac{ \sigma^{2}_{x} + \sigma^{2}_{y} } { (x \pm y)^4 }$$ (2.31)

Esempio 2. La propagazione dell'errore di $z = \frac{x}{y}$ risulta essere

$$\sigma^{2}_{z} = \frac{1}{y^{2}} \sigma^{2}_{x} + \frac{x^{2}}{y^{4}} \sigma^{2}_{y}$$ (2.32)

È chiaro da queste equazioni come il valore assoluto che assumono le variabili ($x$ e $y$ negli esempi) influisca direttamente sulla stima dell'errore sulla variabile finale $z$. Alcune variabili producono risultati a varianza inferiore man mano che aumentano di intensità, mentre altre possono avere un comportamento contrario.