Propagazione dell'incertezza

Uno dei problemi importanti in statistica è capire come una variabile aleatoria si propaghi all'interno di un sistema complesso e in che misura renda aleatorio il risultato del sistema stesso.

La variabile aleatoria, somma di variabili aleatorie indipendenti, ha varianza (covarianza) pari a

$$(X+Y)= (X)+ (Y)$$ (2.22)

La varianza della risultante è la somma delle singole varianze.

Un sistema lineare è un sistema scritto come

$$\mathbf{y} = \mathbf{A} \mathbf{x}$$

dove al vettore aleatorio $\mathbf{x}$ è associata la matrice della varianza-covarianza Var$(X)$.

In un sistema lineare

$$\mathbf{y} = \mathbf{A} \mathbf{x}$$

dove al vettore aleatorio $\mathbf{x}$ è associata la matrice della varianza-covarianza Var$(X)$, la matrice di covarianza della variabile aleatoria $\mathbf{y}$ risultante è

$$(Y) = (\mathbf{A}X) = \mathbf{A} (X) \mathbf{A}^{\top}$$ (2.23)

Nel caso particolare di proiezioni $y = \mathbf{b} \cdot \mathbf{x}$ la varianza diventa similarmente

$$(Y) = (\mathbf{b}^{\top}X) = \mathbf{b}^{\top} (X) \mathbf{b}$$ (2.24)

Generalizzando i casi precedenti, la cross-covarianza tra $\mathbf{A}\mathbf{x}$ e $\mathbf{B}\mathbf{y}$ si può scrivere come:

$$(\mathbf{A}X, \mathbf{B}Y) = \mathbf{A} (X, Y) \mathbf{B}^{\top}$$ (2.25)

Gli esempi di propagazione dell'incertezza visti finora si possono generalizzare, anticipando il caso non-lineare, in una trasformazione affine $f$ definita come

$$f(\mathbf{x}) = f(\bar{\mathbf{x}}) + \mathbf{A} (\mathbf{x} - \bar{\mathbf{x}})$$ (2.26)

la quale forma permette di stabilire che la variabile aleatoria $f(\mathbf{x})$ ha valor medio $f(\bar{\mathbf{x}})$ e matrice di covarianza $\mathbf{A}\boldsymbol\Sigma_X \mathbf{A}^{\top}$.

La propagazione della covarianza nel caso non-lineare non è normalmente ottenibile in forma chiusa ma anzi normalmente in forma approssimata. Tecniche come la simulazione Monte Carlo posso essere usate per simulare a diversi ordini di precisione la covarianza della trasformazione. Normalmente l'approssimazione lineare è ampiamente usata ma, come si vedrà nella sezione 2.9.5, tecniche moderne permettono la stima della covarianza a ordini di precisione elevati in maniera abbastanza semplice.

Normalmente, per statistiche di primo ordine (first-order error propagation), la trasformazione $f$ non lineare, viene approssimata in una trasformazione affine

$$f(\mathbf{x}) \approx f(\bar{\mathbf{x}}) + \mathbf{J}_f (\mathbf{x} - \bar{\mathbf{x}})$$ (2.27)

con $\mathbf{J}_f$ matrice delle derivate parziali (jacobiano) della funzione $f$. In tal caso il risultato del caso lineare affine mostrato in precedenza (equazione 2.26) può essere usato per determinare la matrice di covarianza della variabile $f(\mathbf{x})$, sostituendo alla matrice $\mathbf{A}$ lo jacobiano e usando come valor medio atteso $f(\bar{\mathbf{x}})$:

$$\Sigma_Y = \mathbf{J}_f \boldsymbol\Sigma_X \mathbf{J}_f^{\top}$$ (2.28)