Autovalori

Data una matrice quadrata $\mathbf{A}$ di ordine $n$, un numero (reale o complesso) $\lambda$ e un vettore non nullo $\mathbf{x}$ sono detti rispettivamente autovalore e autovettore di $\mathbf{A}$ se vale la relazione

$$\mathbf{A}\mathbf{x}=\lambda\mathbf{x}$$ (1.9)

$\mathbf{x}$ è anche detto autovettore associato all'autovalore $\lambda$.

Riscrivendo il sistema 1.9 usando la matrice identità $\mathbf{I}$, segue che autovalore e autovettore associato si ottengono come soluzione del sistema omogeneo:

$$(\mathbf{A} - \lambda\mathbf{I})\mathbf{x}=0$$ (1.10)

Se $\mathbf{x}$ è un autovettore di $\mathbf{A}$ associato all'autovalore $\lambda$ e $t \neq 0$ un numero (reale o complesso), allora anche $t\mathbf{x}$ è un autovettore di $\lambda$.

In generale l'insieme dei vettori $\mathbf{x}$ associati a un autovalore $\lambda$ di $\mathbf{A}$ forma un sottospazio di $\mathbb{R}^{n}$ chiamato autospazio. La dimensione di questo sottospazio è detta molteplicità geometrica dell'autovalore.

Il polinomio caratteristico di $A$ nella variabile $x$ è il polinomio definito nel modo seguente:

$$p(x) = \det (\mathbf{A} - x \mathbf{I} )$$ (1.11)

Le radici del polinomio caratteristico sono gli autovalori di $\mathbf{A}$. Ovviamente il polinomio caratteristico ha lo stesso grado della dimensione della matrice.

Proprietà degli Autovettori

• $\mathbf{A}$ e $\mathbf{A}^{\top}$ hanno gli stessi autovalori;
• Se $\mathbf{A}$ è non singolare, e $\lambda$ è un suo autovalore, allora $\lambda^{-1}$ è autovalore di $\mathbf{A}^{-1}$;
• Se $\mathbf{A}$ è ortogonale, allora $\vert \lambda \vert=1$;
• $\lambda=0$ è autovalore di $\mathbf{A}$ se e solo se $\det(\mathbf{A})=0$;
• Gli autovalori di matrici diagonali e triangolari (superiori e inferiori) sono gli elementi della diagonale principale;
• $\trace \mathbf{A} = \sum \lambda_i$. La somma degli elementi diagonali è uguale alla somma degli autovalori;
• $\det \mathbf{A} = \prod \lambda_i$. Il determinante di una matrice è uguale alla produttoria dei propri autovalori;
• Le matrici simmetriche hanno autovalori reali e autovettori ortogonali.