Gaussian Mixture Models

I modelli a miscela sono un tipo di modello di densità che contengono un certo numero di funzioni, solitamente gaussiane. Queste funzioni sono unite per fornire una densità multimodale. Possono, per esempio, essere impiegate per modellare i colori di un oggetto per effettuare compiti quali il tracking e la segmentazione basata sul colore.

Il mixture model è un formalismo matematico sufficiente per modellare una distribuzione di probabilità come somma di distribuzioni parametriche. In termini matematici:

$$p_{X}(x) = \sum_{k = 1}^{K} a_{k} h(x \vert \lambda_k)$$ (2.19)

dove $p_{X}(x)$ è la funzione distribuzione modellata, $K$ è il numero di componenti nel modello, e $a_k$ è il fattore di proporzione del componente $k$. Per definizione $0 < a_k < 1$ $\forall k = 1,\dots,K$ e $a_{1} + \cdots + a_{K} = 1$. $h(x \vert \lambda_k)$ è una distribuzione di probabilità parametrizzata da un vettore (in generale) $\lambda_k$.

I mixture models sono spesso usanti quando si conosce $h(x)$ e si può campionare $p_{X}(x)$, ma si vuole determinare $a_k$ e $\lambda_k$. Queste situazioni sono per esempio rappresentate quando si vuole analizzare una popolazione formata da distinte sottopopolazioni.