La distribuzione Gaussiana

La distribuzione Gaussiana è una delle distribuzioni di probabilità più diffuse in quanto modella correttamente gli eventi reali. Compare in questo documento sia per quando riguarda i classificatore Bayesiani 4.4 e nella LDA 4.2, sia più proprimamente nella Gaussian Mixture Models della sezione 2.4.

Definizione 2   La distribuzione gaussiana standard che si indica con il simbolo $N(0;1)$, è quella di densità

$$p(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e ^ { \left( - \dfrac{1}{2}x^{2} \right) }$$ (2.16)

Definizione 3   La distribuzione gaussiana generale $N(\mu;\sigma^{2})$, con $m,\sigma \in \mathbb{R}, \sigma^{2} \geqslant 0$, è quella che si ottiene dalla distribuzione standard con la trasformazione $x \mapsto \sigma x + \mu$.

Nel caso univariabile (gaussiana univariata) la gaussiana ha la seguente funzione di distribuzione:

$$p(x) = \frac{1}{\sigma \sqrt{2 \pi} } e^{ -\dfrac{1}{2} \left( \dfrac{x - \mu}{ \sigma } \right)^2}$$ (2.17)

dove $\mu$ è il valor medio e $\sigma^2$ è la varianza.

La distribuzione gaussiana multivariabile (gaussiana multidimensionale) è data da un vettore $\boldsymbol\mu$ di dimensione $n$ per il valor medio e da una matrice di coovarianza $\boldsymbol\Sigma$ di dimensioni $n \times n$.

$$p(\mathbf{x}) = \frac{1}{ (2 \pi)^{\frac{n}{2}} \sqrt{\vert\bolds... ...} - \boldsymbol\mu)^{\top} \boldsymbol\Sigma^{-1} (\mathbf{x}-\boldsymbol\mu) }$$ (2.18)

distribuzione normale di valor medio $\boldsymbol\mu = \left[ \mu_1, \mu_2, \dots \mu_n \right]^{T}$ e covarianza $\boldsymbol\Sigma = \begin{bmatrix} \sigma_{11} & \cdots & \sigma_{1n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ \sigma_{n1} & \cdots & \sigma_{nn} \\ \end{bmatrix}$.

La quantità a esponente dell'equazione 2.18 è la distanza di Mahalanobis tra $\mathbf{x}$ e $\boldsymbol\mu$ (cfr. 2.5).