I filtri digitali

I filtri digitali, noti anche come filtri numerici, operano su sequenze numeriche per generare una nuova sequenza numerica. I filtri digitali si possono classificare in due categorie:

• Filtri a risposta infinita IIR (Infinite Impulse Response)
• Filtri a risposta finita FIR (Finite Impulse Response)

Nei filtri ricorsivi IIR il segnale di uscita è ottenuto come combinazione lineare di un numero limitato di segnali di ingresso e di uscita. Ovvero:

$$y(n) = \sum_{i=0}^{N} a_n \cdot x(n - i) - \sum_{i=1}^{M} b_n \cdot y(n - i)$$ (1.45)

dove si vede che il contributo all'uscita corrente dipende sia dalla storia passata degli ingressi, ma anche dalla storia passata delle uscite. La risposta all'impulso di Dirac è una sequenza che tende asintoticamente a zero.

Nei filtri non ricorsivi FIR l'uscita dipende solo dalla storia passata degli ingressi:

$$y(n) = \sum_{i=0}^{N} a_n \cdot x(n - i)$$ (1.46)

La risposta all'impulso di Dirac è una risposta che diventa comunque zero dopo un tempo finito.

La conversione dal dominio di Laplace $s$ (continuo) a quello della trasformata $z$ (discreto) e viceversa si ottiene attraverso la relazione $z = e^{sT_{c}}$ e la sua inversa $s = \frac{1}{T_{c}} \ln z$, dove $T_{c}$ è il tempo di campionamento in secondi.

Essendo tuttavia tale sostituzione complessa da eseguire, per ottenere un filtro digitale si parte comunque dalla trasformata di Laplace di un filtro analogico e, attraverso una trasformazione approssimata, si arriva alla Trasformata Zeta. Allo stesso modo se si applica la trasformazione $z=e^{j \omega T_{c}}$ è possibile limitare la trasformata al cerchio unitario e poter lavorare così in frequenza come trasformata tempo-discreto di Fourier (DTFT).

Una di queste tecniche di trasformazione approssimata è la trasformazione bilineare che si ricava integrando le equazioni differenziali mediante il metodo dei trapezi (di Eulero). Un filtro digitale $H(Z)$ deriva da un filtro analogico $H(s)$ con la seguente sostituzione (e l'inversa):

$$\begin{array}{cc} s \rightarrow \dfrac{2}{T_{c}} \dfrac{z-1}{z+1} & z \rightarrow \dfrac{2 + s T_{c}}{2 - s T_{c} } \end{array}$$ (1.47)

questa sostituzione ha diversi pregi (conserva la stabilità del filtro analogico per esempio) e la mappatura del piano $s$ in $z$ è quantomeno univoca.