La trasformata Z

La trasformata z costituisce il metodo matematico di base per trasformare il segnale campionato in una equazione numerica iterativa, nota come equazione alle differenze finite, facilmente implementabile su computer. Si vedrà, inoltre, che esiste una relazione tra trasformata di Laplace e trasformata z per cui si potrà operare una trasformazione tra segnali tempo-continui in segnali tempo-discreti. In questo modo, ad esempio, una funzione tempo-continuo di un filtro passa-basso si potrà trasformare in una equazione alle differenze finite e quindi si potrà realizzare un filtro passa-basso digitale con le stesse caratteristiche di quello analogico. La differenza sta ovviamente nel fatto che quello analogico è realizzato da un circuito hardware mentre quello digitale è realizzato mediante un software.

Si consideri una funzione tempo-continua $f(t)$ per $t>0$. Indichiamo con $f^{*}(t)$ la funzione nel tempo attenuta dal campionamento della funzione $f(t)$ da impulsi di Dirac di ampiezza unitaria e durata infinitesima e periodo $T_{c}$.

Definizione 1  

La $f^{*}(t)$ si può scrivere:

$$f^{*}(t) = \sum_{n=0}^{\infty} {f(nT_{c}) \delta (t - n T_{c}) }$$ (1.43)

La frequenza $f_{c} = 1/Tc$ è detta frequenza di campionamento e deve rispettare il teorema di Shannon. Pertanto deve essere: $f_{c} > 2 f_{max}$. Dove con $f_{max}$ si è indicata la massima frequenza contenuta nel segnale da campionare $f(t)$.

La trasformata di laplace del segnale campionato $f^{*}(t)$, avendo posto $z = e^{sT_{c}}$ si scrive come

$$F(z)=F^{*}(s) = \sum_{n=0}^{\infty} {f(nT_{c}) \cdot z^{-n} }$$ (1.44)

ed è la trasformata Z del segnale campionato $f^{*}(t)$

La trasformata Z gode delle seguenti proprietà, totalmente equivalenti alle proprietà della trasformata di Laplace:

linearità

La trasformata di una combinazione lineare di due o più funzioni è uguale alla combinazione lineare delle trasformate delle singole funzioni.

$$Z[Af_{1}(n) + Bf_{2}(n)] = AF_{1}(z) + BF_{2}(z)$$

.

ritardo

se $F(z)$ è la trasformata della funzione $f(n)$, la trasformata della funzione ritardata di $K$ unità vale:

$$Z[f(n-k)] = z^{-K} \cdot F(z)$$

valore iniziale

$$f(0) = lim_{n rightarrow 0} f(n) = lim_{z rightarrow infty} F(z)$$

valore finale

$$f(infty) = lim_{n rightarrow infty} f(n) = lim_{z rightarrow 1 } left( frac{z - 1}{z} cdot F(z) right)$$