Coniche

L'uso di coordinate omogenee permette la scrittura di equazioni quadratiche in forma matriciale. L'equazione di una conica in coordinate (inomogenee) è

$$a x^2 + b xy + c y^2 + dx + ey + f = 0$$ (1.39)

Al posto delle coordinate cartesiane usiamo le coordinate omogenee applicando la sostituzione $x = x_1 / x_3$ e $y = x_2 / x_3$ ottenendo l'equazione della conica in coordinate omogenee:

$$a x^2_1 + b x_1 x_2 + c x^2_2 + d x_1 x_3 + e x_2 x_3 + f x^2_3 = 0$$ (1.40)

In questo modo è possibile scrivere l'equazione 1.39 in forma matriciale

$$\mathbf{x}^{\top} \mathbf{C} \mathbf{x}=0$$ (1.41)

dove $\mathbf{C}$ è la matrice simmetrica $3 \times 3$ dei parametri e $\mathbf{x}$ è il luogo dei punti (espresso con coordinate omogenee) della conica. Essendo espressa da rapporti omogenei questa matrice è definita a meno di un fattore moltiplicativo. La conica è definita da 5 gradi di libertà ovvero da 6 elementi della matrice simmetrica meno il fattore di scala.

Sempre per il dualismo punto-retta, la linea $\mathbf{l}$ tangente a una conica $\mathbf{C}$ nel punto $\mathbf{x}$ è $\mathbf{l}= \mathbf{C}\mathbf{x}$.

La conica espressa sopra è una conica definita da un luogo di punti e perciò è anche chiamata point conic perché definisce l'equazione della conica usando punti dello spazio. Usando il teorema di dualità è anche possibile esprimere una conica $\mathbf{C}^* \propto \mathbf{C}^{-1}$, duale della $\mathbf{C}$, in funzione di rette: una linea tangente $\mathbf{l}$ alla conica $\mathbf{C}$ soddisfa $\mathbf{l}^{\top} \mathbf{C}^{*} \mathbf{l} = 0$.

Una conica si trasforma attraverso una trasformazione omografica $\mathbf{x}' = \mathbf{H} \mathbf{x}$ in una conica. Infatti consegue che

$$\mathbf{x}^{\top} \mathbf{C} \mathbf{x} = \mathbf{x}'^{\top} \mathbf{H}^{-\top} \mathbf{C} \mathbf{H}^{-1} \mathbf{x}'$$ (1.42)

che è ancora una forma quadratica $\mathbf{C}' = \mathbf{H}^{-\top} \mathbf{C} \mathbf{H}^{-1}$.

Questo risultato notevole permette di dimostrare che una conica vista in prospettiva è sempre una conica.