Principio di Dualità

Un concetto che tornerà utile di seguito è il principio di dualità punto retta. Tale principio si basa sulla proprietà commutativa del prodotto scalare applicata all'equazione della retta scritta in forma implicita dove i suoi luoghi della retta sono espressi in coordinate omogenee:

$$\mathbf{l}^{\top} \mathbf{x} = \mathbf{x}^{\top} \mathbf{l} = 0$$ (1.36)

Due punti $\mathbf{p}$ e $\mathbf{q}$ definiscono una linea: $\mathbf{l} = \mathbf{p} \times \mathbf{q}$ e due linee $\mathbf{l}$ e $\mathbf{m}$ definiscono un punto $\mathbf{x} = \mathbf{l} \times \mathbf{m}$.

Da questa considerazione nasce il principio di dualità (Duality Principle) che garantisce che la soluzione del problema duale, dove il significato di retta e punto vengono scambiati, è anche soluzione del problema originale.

Questo principio permette di spiegare come, data una trasformazione $\mathbf{M}$ (proiettiva o omografica), la trasformazione che trasforma un punto $\mathbf{x}$ in $\mathbf{x}'$ si scriva

$$\mathbf{x}' = \mathbf{M}\mathbf{x}$$ (1.37)

mentre la trasformazione che trasforma una retta $\mathbf{l}$ diventi invece

$$\mathbf{l}' = \mathbf{M}^{-\top}\mathbf{l}$$ (1.38)