Rette

Esistono applicazioni interessanti dell'omografia in diversi ambiti.

Una trasformazione omografica trasforma generalmente rette in rette. Come caso particolare può trasformare rette in punti come per esempio nella proiezione prospettica: le coordinate omogenee rappresentano diversamente punti e vettori, e quando una retta si riduce a un punto, la sua coordinata omogenea diventa infatti 0.

La trasformazione omografica applicata a una retta (effetto del dualismo punto-retta come verrà mostrato nel paragrafo successivo) è esattamente la trasformazione inversa di quella che trasforma i punti corrispondenti: la trasformazione $\mathbf{H}_{ij}$ che trasforma punti dall'immagine $i$ all'immagine $j$ trasforma rette dall'immagine $j$ all'immagine $i$:

$$\begin{array}{rl} \mathbf{x}_j & = \mathbf{H}_{ij} \mathbf{x}... ...mathbf{l}_i & = \mathbf{H}^{\top}_{ij} \mathbf{l}_j \end{array}$$ (1.35)

Esaminando punti e rette all'infinito (esempio all'orizzonte) si vede come un punto all'infinito abbia coordinate $(x,y,0)^{\top}$. Esiste pertanto una linea speciale $\mathbf{l}_{\infty}=(0,0,1)^{\top}$ che congiunge tutti questi punti.