Piani

È possibile generalizzare il discorso delle rette a piani ed iperpiani nello spazio $\mathbb{R}^{n}$. Come per le rette infatti esiste una forma implicita e omogenea dell'equazione di un piano intesa come luogo dei punti espressi dalla coordinata $\tilde{\mathbf{x}} \in \mathbb{R}^{n+1}$ omogenea a $\mathbf{x} \in \mathbb{R}^{n}$:

$$\mathbf{m}^{\top}\tilde{\mathbf{x}}=0$$ (1.22)

Il prodotto scalare tra coordinate omogenee codifica sempre degli iperpiani.

Le coordinate omogenee sono conosciute a meno di un fattore moltiplicativo e pertanto si può forzare un vincolo opzionale: come per le rette si può pensare che i primi $n$ parametri della coordinata omogenea formino un vettore di lunghezza unitaria.

Un generico piano, o iperpiano, è dunque il luogo dei punti $\mathbf{x} \in \mathbb{R}^{n}$ che soddisfano la condizione

$$\mathbf{x} \cdot \hat{n} - \rho = 0$$ (1.23)

dove $\hat{n} \in \mathbb{R}^{n}$ è la normale al piano e $\rho=0$ se e solo se il piano passa per l'origine.

Porre come vincolo $\vert\hat{n}\vert=1$ rappresenta un caso particolare: come per le rette $\rho$ diventa la distanza euclidea tra il piano e l'origine.

Come nel caso della retta, i parametri del piano in $\mathbb{R}^3$ possono essere espressi attraverso l'uso di 3 coordinate polari (2 angoli e $\rho$):

$$x \sin \theta \cos \varphi + y \sin \varphi \sin \varphi + z \cos \theta = \rho$$ (1.24)

equazione del piano espressa in coordinate polari.

Se il piano (o l'iperpiano) é normalizzato, la distanza tra un generico punto $\mathbf{p}$ e il piano si misura come

$$d = \vert \mathbf{p} \cdot \hat{n} - \rho \vert$$ (1.25)

altrimenti, come nel caso di equazione 1.18, è necessario dividere la distanza per $\vert\hat{n}\vert$.