Tait-Bryan Angles

Un modo per definire la matrice di rotazione in 3 dimensioni consiste nel comporre tra loro rotazioni rispetto ai 3 assi principali del sistema di riferimento.

Definiamo $\vartheta$ l'angolo di beccheggio pitch, $\gamma$ l'angolo di imbardata yaw e $\rho$ l'angolo di rollio roll, angoli di orientazione del sensore rispetto al sistema di riferimento mondo^B.2Tali angoli e tale nomenclatura sono definiti come Tait-Bryan Angles, Cardan Angles da Girolamo Cardano o nautical angles.

Di seguito saranno mostrate le matrici (come riferimento per esempio [21]) che convertono un vettore da coordinate sensore a coordinate mondo attraverso angoli che rappresentano l'orientazione del sensore rispetto al mondo stesso e sono le medesime matrici che ruotano un vettore in senso antiorario (counterclockwise rotation of axes) rispetto ai vari assi del sistema di riferimento.

Gli assi di tale sistema di riferimento sono quelli mostrati in figura 6.4. Si faccia comunque attenzione perché per i veicoli terrestri e per le navi viene prediletto un sistema di riferimento diverso da quelli areonautico.

La matrice di rotazione dell'angolo roll $\rho$ (asse X):

$$\mathbf{R}_{x} = \mathbf{R}_{\rho} = \begin{bmatrix}1 & 0 & 0 0 & \cos \rho & -\sin \rho 0 & \sin \rho & \cos \rho \end{bmatrix}$$ (B.4)

La matrice di rotazione dell'angolo pitch $\vartheta$ (asse Y):

$$\mathbf{R}_y = \mathbf{R}_{\vartheta} = \begin{bmatrix}\cos \vart... ...\vartheta 0 & 1 & 0 -\sin \vartheta & 0 & \cos \vartheta \end{bmatrix}$$ (B.5)

La matrice di rotazione dell'angolo yaw $\gamma$ (asse Z):

$$\mathbf{R}_z = \mathbf{R}_{\gamma} = \begin{bmatrix}\cos \gamma & -\sin \gamma & 0 \sin \gamma & \cos \gamma & 0 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$$ (B.6)

(La Valle [21], pag. 80-81).

Come si è detto nella sezione precedente, la composizione di rotazioni non è commutativa ed è necessario fare una scelta.

In campo areonautico viene suggerita come convenzione Roll-Pitch-Yaw (RPY).

La matrice di rotazione pertanto vale $\mathbf{R}=\mathbf{R}_z \mathbf{R}_y \mathbf{R}_x$ ed esplicitando i termini, sotto questa convenzione, si ottiene:

$$\begin{bmatrix}\cos\gamma \cos\theta & \cos\gamma \sin\theta \sin... ...n\rho -\sin\theta & \cos\theta \sin\rho & \cos\theta \cos \rho \end{bmatrix}$$ (B.7)

Va ricordato che tale matrice ruota punti da coordinate sensore (body coordinates) a coordinate mondo.

Usando questa convenzione la matrice di rotazione del modello della camera pin-hole, attraverso l'equazione B.3, si può esprimere come prodotto di:

$$\mathbf{R} = \boldsymbol\Pi_{bc} \cdot ( \mathbf{R}_{\rho} )^{-1} \cdot ( \mathbf{R}_{\vartheta} )^{-1} \cdot ( \mathbf{R}_{\gamma} )^{-1}$$ (B.8)

La matrice di rotazione $\mathbf{R}$ della camera pin-hole che converte da coordinate mondo a coordinate camera si scrive:

$$\begin{bmatrix}-\cos \gamma \sin \theta \sin \rho + \sin \gamma \... ... \cos \gamma \cos \theta & \sin \gamma \cos \theta & -\sin \theta \end{bmatrix}$$ (B.9)

In questa sezione si è chiamato $\mathbf{R}$ sia la trasformazione che converte da ``mondo'' a ``camera'', che quella che converte da ``sensore'' a ``mondo''.

Attenzione che la matrice B.8 siccome contiene il termine $\boldsymbol\Pi_{bc}$ permette solo la conversione da coordinate mondo a coordinate camera e viceversa ma non, per esempio, di convertire tra loro coordinate mondo. La matrice B.7 invece soddisfa a pieno questo scopo.

Va ribadito che la matrice $\mathbf{R}$, espressa come nella formula B.8, è la matrice che rimuove la rotazione di un sensore avete quei particolari angoli di posizionamento e pertanto trasforma da coordinate ``mondo'' a coordinate ``camera''. In generale invece qualunque matrice di rotazione è una matrice che converte da coordinate ``sensore'' a coordinate ``mondo''.