Retta in coordiante polari

La retta scritta in forma implicita dipende da 3 parametri, conosciuti a meno di un fattore moltiplicativo, senza nessun significato geometrico. Dall'altra parte, l'equazione esplicita della retta presenta la singolarità delle rette verticali.

Figura 1.3: Retta espressa in coordinate polari.

Usando le coordinate polari risulta possibile esprimere una retta in uno spazio bidimensionale senza singolarità ma usando solo 2 parametri, come nella retta esplicita. Il legame tuttavia tra questi due parametri e l'equazione della retta diventa non lineare:

$$x cos \theta + y sin \theta = \rho$$ (1.19)

dove $\rho$ è la distanza tra la retta e il punto $(0,0)$ e $\theta$ è l'angolo che forma tale segmento distanza (ortogonale alla retta) e l'asse delle ascisse (figura 1.3).

Tale equazione è normalmente usata nella trasformata di Hough per le rette (sezione 3.6) per poter sfruttare uno spazio dei parametri bidimensionale.

Con questa particolare forma, la distanza tra un punto dello spazio $(x_i,y_i)$ e la retta si scrive

$$d = \vert x_i cos \theta + y_i sin \theta - \rho \vert$$ (1.20)